电路-第6章 非正弦周期电流电路的分析
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k
O 2 4 6 幅值频谱
1 2 3 45 6
k
O
2 4 6
相位频谱
例:求图所示周期性方波的傅里叶展开式,并画其频谱。
A
O T/2 T
f ( t ) A 2A (sint 1 sin 3t
2
3
t
1 5
sin
5t
)
方波振幅频谱和相位频谱如下所示
2A
二次谐波 (2倍频)
Anm cos(n1t n )
高次谐波
f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
也可表示成:
Akm cos(k1t k ) ak cos k1t bk sin k1t
f (t) a0 [ak cos k1t bk sin k1t] k 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
I0
则其平均值为:
I av
1 T
T i(t) dt
0
正弦量的平均值为
I av
1 T
T 0
Im
cos
t dt
6.1 非正弦周期电流和电压 6.2 周期函数的傅里叶级数展开式及频谱 6.3 非正弦周期量的有效值、平均功率 6.4 非正弦周期稳态电路的计算
周期函数分解为付里叶级数 非正弦周期函数的有效值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算
生产实际中不完全是正弦电路,经常会遇到非正弦周期 电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技 术等方面,电压和电流往往都是周期性的非正弦波形
2 sin2 ktd (t) 2 cos2ktd (t)
0
0
(3) 三角函数的正交性
2 cos kt sin ptd (t) 0 0
2 cos kt cos ptd (t) 0 0
2 sin kt sin ptd (t) 0 0 k p
u(t)
4Em
(sin 1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
)
1
[
0
f (t) cos k1td (1t)
2
f (t) cos k1td (1t)]
0
bk
1
2 0
f (t) sin k1td (1t)
1[
求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。
【例6.2.1】求图6.2.2所示矩形波电压u(t)的傅里叶级数展开式。
u(t) Em 0 t T 2
u(t) Em T t T 2
解:a0
1 T
T
f (t)dt 0
0
ak
1
2 0
f (t) cos k1td (1t)
2.有效值
若 i(t ) I0 I km cos(kt k ) k 1
则有效值:
I 1 T i 2 t d (t )
T0
1 T
T 0
I0
k 1
I km
cos
kt
k
2 d (t )
利用三角函数的性质得:
I
5
t
)
直流分量
t
三次谐波
基波
t
五次谐波 七次谐波
t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
iS
Im
t T/2 T
等效电源
IS0 is1 is3 is5
iS
Im 2
2Im
(sin t
1 sin 3t
3
1 sin 5
5
t
)
IS0
is1
is3
is5
利用函数的对称性可使系数的确定简化
f(t)
(1)偶函数
f (t) f (t) bk 0
-T/2
T/2 t
(2)奇函数
f (t) f (t) ak 0
-T/2
f(t) T/2 t
(3)奇谐波函数
f (t)
f (t) f (t T ) 2
a2k b2k 0
T/2
T
t
2.频谱
A1m
A2mA3mA4 mA5m A6m
0
f (t) sin k1td (1t)
2
f (t) sin k1td (1t)]
2Em
0
sin
k1td (1t)
2Em
k
[1
cos(k
)]
周期性方波波形分解
iS
Im 2
2Im
(sin t
1 sin 3t
3
1 sin 5
系数之间 的关系为
A0 a0
Akm ak2 bk2
ak Akm cosk
k
arctan
bk ak
bk Akm sink
系数的计算:
A0
a0
1 T
T 0
f (t)dt
ak
1
2
0
f (t) cos k1td(1t)
bk
1
2
0
f (t) sin k1td(1t)
非正弦周期交流信号的特点:
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化
1. 非正弦周期电流的产生
1) 当电路中有多个不同频率的电源同时作用
R1
L
uS1 R2
uS2
R
2)非正弦周期电压源或电流源(例如方波、锯齿波)
uS
uS
t
O (a)
t
O (b)
3)由非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。
i
ui
I
2 0
k 1
I
2 km
2
I
I
2 0
I
2 1
I
2 2
结论
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波
分量有效值平方和的方根。
3. 非正弦周期函数的平均值
若 i(t ) I0 I k cos(kt k )
k 1
则其直流值为:
I 1
T
T 0
i (t )dt
π
A
2
2A
3π 2A 2A 2A
O
5π 7π 9π
3 5 7 9 k
(a)
k
O 3
5 7
(b)
9
k
1. 三角函数的性质
(1)正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。 k整数
2 sin ktd (t) 0 2 cos ktd (t) 0
0
0
(2)sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
ui
D
R uo O
(a)
(b)
uo
t
t
O
(c)
思路:叠加定理+傅里叶级数展开 非正弦周期电流电路分析方法:谐波分析法
周期函数展开成付里叶级数: 直流分量
基波(和原 函数同频)
f (t) A0 A1m cos(1t 1 ) A2m cos(21t 2 )