一次函数的实际应用专题(四个常考模型)【精品】

类型3 分段函数的应用
5.某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价为477元/g，按标价出售，不优 惠；乙店标价为530元/g，但若买的铂金饰品质量超过3 g，则超出部分可打八折． (1)分别写出到甲、乙两个商店购买该种铂金饰品所需费用y(元)和质量x(g)之间的 函数解析式； (2)李阿姨要买一条质量不少于4 g且不超过10 g的此种铂金饰品，到哪个商店购买 合算？
类型1 最值问题
1.某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共60箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所
示．设购进果汁饮料x箱(x为正整数)，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总 利润为w元(注：总利润＝总售价－总进价)． (1)设商场购进碳酸饮料y箱，直接写出y与x的函数解析式； (2)求总利润w关于x的函数解析式；
解：(1)y甲＝477x，y乙＝ 530x（0≤x≤3） 424x＋318（x＞3）
(2)当477x＝424x＋318时，解得x＝6. 即当x＝6时，到甲、乙两个商店购买所需费用相同； 当477x<424x＋318时，解得x<6， 又x≥4，于是，当4≤x＜6时，到甲商店购买合算； 当477x>424x＋318时，解得x>6， 又x≤10，于是，当6＜x≤10时，到乙商店购买合算．
类型2 方案问题
3.用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可 制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A，B型钢板共100块， 并全部加工成C，D型钢板．要求C型钢板不少于120块，D型钢板不 少于250块，设购买A型钢板x块(x为整数)． (1)求A，B型钢板的购买方案共有多少种； (2)出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元．若 将C，D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案．
解：(1)设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电a度，B发电厂发电b度，根据题意，得 30b－20a＝1800， a－b＝40，
解得 a＝300 b＝260
答：焚烧1吨垃圾，A发电厂发电300度，B发电厂发电260度． (2)设A发电厂焚烧x吨垃圾，B发电厂焚烧(90－x)吨垃圾，总发电量为y度，则 y＝300x＋260(90－x)＝40x＋23400， ∵x≤2(90－x)， ∴x≤60. ∵y随x的增大而增大， ∴当x＝60时，y有最大值，此时y＝40×60＋23400＝25800. 答：A厂和B厂总发电量的最大值是25800度．
6. 有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同
一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到
达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y
（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
解：设支付的旅游费用为y元，由题意，得 y甲＝500×2＋500×0.7x＝350x＋1000， y乙＝500×0.8(x＋2)＝400x＋800， 当y甲>y乙时，有350x＋1000>400x＋800，解得x<4； 当y甲<y乙时，有350x＋1000<400x＋800，解得x>4； 当y甲＝y乙时，有350x＋1000＝400x＋800，解得x＝4， 又∵2≤x≤8， 故当2≤x＜4时，选择乙旅行社支付的旅游费用较少；当x＝4时，选 择两家旅行社支付的旅游费用一样多；当4＜x≤8时，选择甲旅行社 支付的旅游费用较少．
(3)如果购进两种饮料的总费用不超过2 100元，那么该商场如何进货才能获利最多？ 并求出最大利润．
果汁饮料 碳酸饮料
进价/(元/箱)
40
25
售价/(元/箱)
52
32
解：(1)y与x的函数解析式为y＝60－x. (2)总利润w关于x的函数解析式为 w＝(52－40)x＋(32－25)(60－x)＝5x＋420. (3)由题意，得40x＋25(60－x)≤2 100，解得x≤40. ∵w＝5x＋420，w随x的增大而增大， ∴当x＝40时，w最大＝5×40＋420＝620，
解：(1)由题意得购买B型钢板(100－x)块，
则 x＋3（100－x）≥250， 2x＋（100－x）≥120
解得20≤x≤25. ∵x为整数，∴x＝20，21，22，23，24，25，共6种方案， 即A，B型钢板的购买方案共有6种． (2)设总利润为w元，根据题意得 w＝100(2x＋100－x)＋120(x＋300－3x)＝100x＋10 000－240x＋ 36 000＝－140x＋46 000.
（1）A、B两点之间的距离是
米，甲机器人前2分钟的速度为
米/分；
（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；
（3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为
米/分；
（4）求A、C两点之间的距离；
（5）直接写出两机Hale Waihona Puke Baidu人出发多长时间相距28米．
解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为： （70+60×2）÷2=95米/分； （2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y=kx+b， ∵1×（95-60）=35，∴点F的坐标为（3，35），则 2k+b=0
∵－140＜0，
∴当x＝20时，wmax＝－140×20＋46 000＝43 200(元)， 即当购买A型钢板20块、B型钢板80块时，获得的利润最大．
4.今年的五一小长假，两位家长计划带领若干名孩子去旅游，参 加旅游的孩子人数估计为2至8名，他们联系了报价均为每人500元 的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是两位家长全额收 费，孩子都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、孩子都 按八折收费．假设这两位家长带领x名孩子去旅游，他们选择哪家 旅行社支付的旅游费用较少？
此时购进碳酸饮料60－40＝20(箱)． ∴该商场购进两种饮料分别为40箱和20箱时，能获得最大利润620元．
2．有A，B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电， A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少发1800度电． (1)求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少度？ (2)A，B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾 的两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值．