双线性变换法

脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z ＝e sT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：

第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；

第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。

由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。

图双线性变换的映射关系

为了将s平面的jΩ轴压缩到s1平面jΩ轴上的-一段上，可通过以下的正切变换实现：

这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C，可使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。

经过这样的频率变换，当Ω

由时

1

Ω由

即映射了整个jΩ轴。

将这一关系解析延拓至整个s平面，则得到s平面

平面的映射关系：

平面通过标准变换关系映射到z平面，即令通常取C=2/T

再将s

1

最后得S平面与Z平面的单值映射关系：

现在我们再来看一看常数C的取值方法：

双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个jΩ)对应于

对应即数字

Z平面单位圆的一周，S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，

滤波器的频率响应终止于折迭频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。

上面讲到，用不同的方法确定待定常数C，可以使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。也就是说，常数C可以调节频带间的对应关系。确定C 的常用方法有两种：

①保证模拟滤波器的低频特性逼近数字滤波器的低频特性。此时两者在低频处有确切的对应关系，即

因为Ω和ω都比较小，所以有

另外，根据归一化数字频率ω与模拟频率Ω的关系，

，所以有Ω=cΩT/2，

所以，c=2/T

②保证数字滤波器的某一特定频率，如截止频率

，与模拟滤波器的某一待定频

率Ω

c

所以一般取。

当截止频率较低时，有

现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始所提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从S平面到Z平面映射变换的二个基本要求：

①当时，代入 ①

即S的虚轴映射到Z平面正好是单位圆。

②代入z表达式，得

当

时，∣z∣<1; 时，∣z∣>1 ，即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映

射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。看前面双线性变换的映射关系图。

小结：

∙与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：靠频率的严重非线性关系得到S平面与Z平面的单值一一对应关系，整个jΩ轴单值对应于单位圆一周，这个关系就是

式所表示的，其中ω和Ω为非线性关系。如图图中看到，在零频率附近，

Ω～ω接近于线性关系，Ω进一步增加时，ω增长变得缓慢，(ω终止于折叠频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。

图双线性变换的频率非线性关系

∙双线性变换法的缺点：Ω与ω的非线性关系，导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上

发生畸变)。例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是线性关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器。若

则

∙另外，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后，滤波器就不再有线性相位特性。

虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。

∙双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。

置换过程

频响：

这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换。