2018年河北省高中数学竞赛试卷

2018年河北省高中数学竞赛试卷（高二年级组）答案

一、填空题：共8道小题，每小题8分，共64分.

1.已知集合{,,}A x xy x y =+，{0,,}B x y =且A B =，则2018

2018x

y += ．

2.规定：x R ∀∈，当且仅当*

1()n x n n N ≤<+∈时，[]x n =，则[][]2

428450x x -+≤的解集为 ．

3.在平面直角坐标系中，若与点()2,2A 的距离为1，且与点(),0B m 的距离为3的直线恰有三条，则实数m 的取值集合是 ．

4.在矩形ABCD 中，已知3AB =，1BC =.动点P 在边CD 上，设PAB α∠=，PBA β∠=，则c o s ()P AP B αβ

⋅

+的最大值为 ．

5.已知1x ≥，1y ≥且2

2

2

2

lg lg lg10lg10x y x y +=+，则lg u xy =的最大值为 ．

6.若123A A A ∆的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B 、C 、D ，将三个中点两两连接得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A BCD -的表面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是 ．

7.1

>，则tan θ的取值范围是 ．

8.在ABC ∆中，3AC =，sin sin C k A =，(2)k ≥，则ABC ∆的面积的最大值为 ．

二、解答题

9.已知O 是ABC ∆的外心，且3450OA OB OC =+=，求cos BAC ∠的值.

10.设α、0,

2πβ⎛⎫

∈ ⎪⎝

⎭

，证明：cos cos sin 2

αβαβ++≤

.

11.若a 、b 、c 为正数且3a b c ++=，证明：3ab bc ca ++≤

.

12.若函数()f x 的定义域为()0,+∞且满足：①存在实数(1,)a ∈+∞，使得()1f a =.②当m R ∈且

()0,x ∈+∞时，有()()0m f x mf x -=恒成立.

（1）证明：()()x f f x f y y ⎛⎫

=-

⎪⎝⎭

（其中0x >，0y >）

； （2）判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；

（3）若当0t >时，不等式()

()241f t f t +-≥恒成立，求实数a 的取值范围. 13.已知数列{}n a 中112a =

，*

11121()22

n n n n a a n N +++=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 14.如图，设ABC ∆的外接圆为O ，BAC ∠的角平分线与BC 交于点D ，M 为BC 的中点.若ADM ∆的

外接圆

Z 分别与AB 、AC 交于P 、Q ，N 为PQ 的中点.

（1）证明：BP CQ =； （2）证明：//MN AD .

试卷答案

一、填空题

1. 2

2. {|35}x x ≤<

3. {22-+

4. 3-

5. 2+

6.

772

π

7. 3(,(,2)3-∞ 8. 3 二、解答题

9.【解析】设ABC ∆的外接圆半径1r =，由已知得345OA OB OC =--，两边平方得4

5

OB OC ⋅=-， 同理可得3

5

OA OC ⋅=-

，0OA OB ⋅=. ∴()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅-2

OB OC OA OC OA OB OA =⋅-⋅-⋅+45

=

， ∴2

2

()2AB OB OA =-=，2

2

316()22()55

AC OC OA =-=-⋅-

=

，

∴4cos 10

AB

AC BAC AB AC

⋅∠=

=

=

⋅. 10.

【解析】cos cos sin αβαβ++

2cos

cos

2

2

2

αβ

αβ

+-=+

(cos()cos())αβαβ--+

2cos

cos())2

αβ

αβ+≤-+

22cos

2cos )2

2αβ

αβ++=

-22cos

22

αβαβ

++=+

2

2222

αβ+=

-≤. 当且仅当cos 12cos 0

22

αβ

αβ-⎧=⎪⎪

⎨+

⎪-=⎪⎩

时，即4παβ

==时“=”成立.

11.23a a ≥=，

23

b b

≥=

23

c c

≥=，

三式相加：222

a b c

+++2

3()9()

a b c a b c

≥++==++，

∴2222

()

a b c a b c

≥++---2()

ab bc ac

=++，

∴ab bc ac

++≤

又2()(111)9

a b c

≤++++=

3

≤，

综上可得3

ab bc ac

++≤.

12.【解析】（1）证明：∵x，y均为正数，故总存在实数m，n使得m

x a

=，()1

n

y a a

=>，∴()()()()()

m

m n

n

x a

f f f a m n f a m n

y a

-

===-=-，

又()()()()

m n

f x f y f a f a

-=-()()

mf a nf a m n

=-=-，

∴()()

x

f f x f y

y

⎛⎫

=-

⎪

⎝⎭

.

（2）证明：设()

12

,0,

x x∈+∞，且

12

x x

>，则1

2

1

x

x

>，故可令1

2

x

a

x

α

=，（1

a>，0

α>），

则由（1）知()()1

12

2

x

f x f x f

x

⎛⎫

-= ⎪

⎝⎭

()()0

f a f a

ααα

===>，

即()()

12

f x f x

>.∴()

f x在()

0,+∞上单调递增.

（3）解：∵()1

f a=故原不等式化为

24

()()

t

f f a

t

+

≥，又()

f x在()

0,+∞上单调递增，

∴

24

t

a

t

+

≥对于0

t>恒成.

∵

244

4

t

t

t t

+

=+≥=.（当且仅当2

t=时“=”成立）. ∴4

a≤，又()

1,

a∈+∞，∴(]

1,4

a∈.

13.【解析】（1）由*

11

121

()

22

n n n

n

a a n N

++

+

=+∈知：1*

1

2221()

n n

n n

a a n n N

+

+

=++∈，

令2n

n n

b a

=，则

1

1

b=且*

1

21()

n n

b b n n N

+

=++∈.

由

112

()()

n n n n n

b b b b b

---

=-+-2

211

()(21)31

b b b n n

+⋅⋅⋅+-+=-+⋅⋅⋅++=，