2018年河北省高中数学竞赛试卷

2018年河北省高中数学竞赛试卷（高二年级组）答案
一、填空题：共8道小题，每小题8分，共64分.
1.已知集合{,,}A x xy x y =+，{0,,}B x y =且A B =，则2018
2018x
y += ．
2.规定：x R ∀∈，当且仅当*
1()n x n n N ≤<+∈时，[]x n =，则[][]2
428450x x -+≤的解集为 ．
3.在平面直角坐标系中，若与点()2,2A 的距离为1，且与点(),0B m 的距离为3的直线恰有三条，则实数m 的取值集合是 ．
4.在矩形ABCD 中，已知3AB =，1BC =.动点P 在边CD 上，设PAB α∠=，PBA β∠=，则c o s ()P AP B αβ
⋅
+的最大值为 ．
5.已知1x ≥，1y ≥且2
2
2
2
lg lg lg10lg10x y x y +=+，则lg u xy =的最大值为 ．
6.若123A A A ∆的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B 、C 、D ，将三个中点两两连接得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A BCD -的表面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是 ．
7.1
>，则tan θ的取值范围是 ．
8.在ABC ∆中，3AC =，sin sin C k A =，(2)k ≥，则ABC ∆的面积的最大值为 ．
二、解答题
9.已知O 是ABC ∆的外心，且3450OA OB OC =+=，求cos BAC ∠的值.
10.设α、0,
2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，证明：cos cos sin 2
αβαβ++≤
.
11.若a 、b 、c 为正数且3a b c ++=，证明：3ab bc ca ++≤
.
12.若函数()f x 的定义域为()0,+∞且满足：①存在实数(1,)a ∈+∞，使得()1f a =.②当m R ∈且
()0,x ∈+∞时，有()()0m f x mf x -=恒成立.
（1）证明：()()x f f x f y y ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
（其中0x >，0y >）
； （2）判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；
（3）若当0t >时，不等式()
()241f t f t +-≥恒成立，求实数a 的取值范围. 13.已知数列{}n a 中112a =
，*
11121()22
n n n n a a n N +++=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 14.如图，设ABC ∆的外接圆为O ，BAC ∠的角平分线与BC 交于点D ，M 为BC 的中点.若ADM ∆的
外接圆
Z 分别与AB 、AC 交于P 、Q ，N 为PQ 的中点.
（1）证明：BP CQ =； （2）证明：//MN AD .
试卷答案
一、填空题
1. 2
2. {|35}x x ≤<
3. {22-+
4. 3-
5. 2+
6.
772
π
7. 3(,(,2)3-∞ 8. 3 二、解答题
9.【解析】设ABC ∆的外接圆半径1r =，由已知得345OA OB OC =--，两边平方得4
5
OB OC ⋅=-， 同理可得3
5
OA OC ⋅=-
，0OA OB ⋅=. ∴()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅-2
OB OC OA OC OA OB OA =⋅-⋅-⋅+45
=
， ∴2
2
()2AB OB OA =-=，2
2
316()22()55
AC OC OA =-=-⋅-
=
，
∴4cos 10
AB
AC BAC AB AC
⋅∠=
=
=
⋅. 10.
【解析】cos cos sin αβαβ++
2cos
cos
2
2
2
αβ
αβ
+-=+
(cos()cos())αβαβ--+
2cos
cos())2
αβ
αβ+≤-+
22cos
2cos )2
2αβ
αβ++=
-22cos
22
αβαβ
++=+
2
2222
αβ+=
-≤. 当且仅当cos 12cos 0
22
αβ
αβ-⎧=⎪⎪
⎨+
⎪-=⎪⎩
时，即4παβ
==时“=”成立.
11.23a a ≥=，
23
b b
≥=
23
c c
≥=，
三式相加：222
a b c
+++2
3()9()
a b c a b c
≥++==++，
∴2222
()
a b c a b c
≥++---2()
ab bc ac
=++，
∴ab bc ac
++≤
又2()(111)9
a b c
≤++++=
3
≤，
综上可得3
ab bc ac
++≤.
12.【解析】（1）证明：∵x，y均为正数，故总存在实数m，n使得m
x a
=，()1
n
y a a
=>，∴()()()()()
m
m n
n
x a
f f f a m n f a m n
y a
-
===-=-，
又()()()()
m n
f x f y f a f a
-=-()()
mf a nf a m n
=-=-，
∴()()
x
f f x f y
y
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
.
（2）证明：设()
12
,0,
x x∈+∞，且
12
x x
>，则1
2
1
x
x
>，故可令1
2
x
a
x
α
=，（1
a>，0
α>），
则由（1）知()()1
12
2
x
f x f x f
x
⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭
()()0
f a f a
ααα
===>，
即()()
12
f x f x
>.∴()
f x在()
0,+∞上单调递增.
（3）解：∵()1
f a=故原不等式化为
24
()()
t
f f a
t
+
≥，又()
f x在()
0,+∞上单调递增，
∴
24
t
a
t
+
≥对于0
t>恒成.
∵
244
4
t
t
t t
+
=+≥=.（当且仅当2
t=时“=”成立）. ∴4
a≤，又()
1,
a∈+∞，∴(]
1,4
a∈.
13.【解析】（1）由*
11
121
()
22
n n n
n
a a n N
++
+
=+∈知：1*
1
2221()
n n
n n
a a n n N
+
+
=++∈，
令2n
n n
b a
=，则
1
1
b=且*
1
21()
n n
b b n n N
+
=++∈.
由
112
()()
n n n n n
b b b b b
---
=-+-2
211
()(21)31
b b b n n
+⋅⋅⋅+-+=-+⋅⋅⋅++=，
得2
2
n n n a =.
（2）由题意知：2222123412342222n S =+++22
1
(1)22n n n n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++， 所以222223451123422222n S =+++22
1(1)22
n n n n +-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
+， 两式相减得2345113579
222222
n S =++++21(21)22n
n n n +-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-， 设23451357922222n T =
++++(21)2
n
n -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+， 再利用错位相减法求得23
32
n n
n T +=-. 所以2212346
66222
n n n n
n n n n S -+++=--=-. 14.【解析】（1）证明：设AB c =，BC a =，AC b =. 在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，
∴
BD AB DC AC =，∴BD AB BD DC AB AC =++，∴BD c a b c
=
+， ∴ac BD b c =+，又2
a
BM =，
由BP BA BD BM ⋅=⋅得2
2()BD BM a BP AB b c ⋅==+， 由CQ CA CM CD ⋅=⋅得2
2()
a CQ
b
c =+，因此CQ BP =.
（2）证明：连接BQ 、PC ，并设X 、Y 分别为BQ 、PC 的中点，易证XN 平行且等于MY ，所以四边形NXMY 为平行四边形，由CQ BP =知NX NY =，所以四边形NXMY 为菱形.从而MN 平分XNY ∠，又AD 平分BAC ∠，//AB NX ，//AC NY ，所以//MN AD .。