2.4.1 保守力及保守力的功.

N
其中 Ek Eki ,
i 1
N
E p E pi .
i 1
若外力和非保守内力均不做功，或质点 组在只有保守内力做功的条件下，质点组内 部的机械能相互转化，但总的机械能守恒. 这就是机械能转化和机械能守恒定律.
2.4.5 能量转化和能量守恒定律
能量既不能消灭，也不能产生；它只能 从一个物体传递给另一个物体，或物体的一 部分传递给另一部分，由一种形式转化为另 一种形式. 这称之为能量转化和能量守恒定 律.
2.4 势能 机械能转换及守恒定律
2.4.1 保守力及保守力的功 2.4.2 势能 2.4.3 功能原理 2.4.4 机械能和机械能守恒定律 2.4.5 能量转化和能量守恒定律 2.4.6 例题分析
2.4.1 保守力及保守力的功
1. 万有引力的功
F

G
Mm r3
r
W引
r2
F

dl
（2）如果卫星落地后减少的能量全部以 热量的形式被卫星所吸收，它能被全部熔化 吗？它能被全部蒸发吗？
已知铝的熔解热是C 3.98 105 J kg1， 铝的蒸发热为C 1.05 107 J kg1.
解（1）卫星做圆周运动时，地球对卫 星的引力提供卫星做圆运动的向心力，则
G
面的木板时，弹 簧压缩量 x2 F m1g k ，
突然撤去外力 F 后，上面的木板由这一位置 从静止开始向上运动，因为系统（两块木板、
弹簧、地球）只有重力、弹性力做功，所以
系统遵守机械能守恒定律.
若上面的木板运动到最高点时，弹簧恰 能伸长 x1，则以上各量必须满足
1 2
kx2 2

0
解之可得
mg x2 k
mg 2 mg h k k
因为要求 x2 0 ，所以舍去负根，则碰 撞后弹簧的最大压缩量为
xmax

x1

x2

2mg k


mg
2

mg
h
k k
3.如图是打桩的示意图. 设锤和桩的质 量分别为m1和m2，锤的下落高度为h ，假定 地基的阻力恒定不变，落锤一次，木桩打进 土中的深度为d ，求地基的阻力f 等于多大？
x F mg kxdx 1 mv 2
0
2
即 F mg x 1 kx2 1 mv 2
2
2
所以 v 2F mg x kx2
m
令v 0可求得
xmax

2 F
k


mg
所以系统的最大势能为
E pmax

1 2
kxm2 ax

2 F
W外力 W保守内力 W非保守内力 Ek
W外力 E p W非保守内力 Ek
W外力 W非保守内力 Ek E p EM 或者W外力 W非保守内力 ( Ek E p ) ( Ek0 E p0 )
2.4.4 机械能和机械能守恒定律
若W外力 W非保守内力 0 则EM EM 0或Ek E p Ek0 E p0
E p引力(r) 0
对于重力势能，通常取地面作为零势能 点，即
E p重力( y0) 0
对于弹性势能，通常取弹簧无形变处作 为零势能点，即
E p弹力( x0) 0
2.4.3 功能原理
EM Ek Ep EM Ek E p W内力 W保守内力 W非保守内力
解 以锤为研究对象，锤 m1
打击桩前作自由落体运动,则
h
v1 2gh
以锤和桩为研究对象，则 锤与桩构成的质点组动量守恒.
m2
d
设锤打击桩后不回跳，锤和桩
以共同的速度v 进入土中，则
m1v1 (m1 m2 )v
以锤、桩和地球构成的质点组为研究对 象由功能原理可得

fd

(m1

m2 )gd
x
所以W弹


1 2
kx22

1 2
kx12

根据做功的特点我们可以把保守力与非 保守力定义为：
若某种力做功仅与起末位置有关而与路 径无关，则这种力称之为保守力；
若某种力做功不仅与起末位置有关而且 还与路径有关，则这种力称之为非保守力.
把保守力存在的空间称之为保守力场； 保守力和非保守力属于系统（质点组）的内 力.

1 2
(m1

m2 )v2
联立以上各式，并求解可得
f

(m1

m2
)g

m12 (m1
gh m2
)d
4. 一质量为m =3500kg 铝制人造地球卫 星绕地球做圆周运动，轨道高度为h =100km， 关闭发动机后，由于空气阻力，它将逐渐减 速，最后撞回到地面.
（1）求卫星在正常轨道时的总能量和落 回到地面后的总能量.
k

mg 2

1 2
k
x1
2

m1 g x1

x2
把 x1和x2代入上式，化简可得
F 2 m1g m2 g2
所以 F m1 m2 g
因为F m1 m2 g不是压力，故舍去.
所得结果具有对称性，因此 m1和m2交换 位置结果是不会改变的.
2.如图所示，质量为m 的物块从离平板 高为h 的位置下落，落在质量为m 的平板上. 已知轻质弹簧的弹性系数为k ，物块与平板 的碰撞为完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的 最大压缩量.
质点组的势能变化为
E p

1 2
k
(
x1

x2 )2

(m

m ) gx2

1 2
kx12
所以

1 2
(
m

m
)v22


1 2
k(
x1

x2 )2

(m

m ) gx2

1 2
kx12


0
又因为 mg kx1
联立以上各式，并整理可得
x22

2mg k
x2

mgh k
EM

G mM e Re

2.2 1011J
（2）卫星由轨道上落回到地面后，能量 的减少为
EM EM EM 1.11011J
卫星全部熔化所需要的热量为
Q mC 1.4 109 J E 如果卫星落地后减少的能量全部以热量 的形式被卫星所吸收，则卫星将被全部熔化. 卫星全部被蒸发所需要的热量为
2.4.6 例题分析
1.如图所示，用一弹簧把质量分别为 m1和 m2 的两块木板连接在一起，放在地面上，弹 簧的质量可忽略不计，且 m2 m1. 问： （以1便）在对力上F面突的然木撤板去必而须上施面加的多木大板的跳正起压来力时F，， 恰好使下面的木板提离地面？
（2）如果m1和m2交换位置，结果如何？
在碰撞后弹簧继续压缩的过程中，取物 块、平板、弹簧和地球构成的质点组为研究 对象，由于质点组仅有保守力（重力、弹性 力）做功，所以由机械能守恒定律得
EM Ek E p
由于弹簧处于最大压缩时，物块和平板
的速度等于零，所以达到最大压缩时质点组
的动能变化为
Ek

0
1 (m 2

m )v22
2.4.2 势能
功是能量改变的量度，把保守力做功所 改变的能量称之为势能（这种能量仅与位置 有关，所以也称位能）.
Mm E p引力 G r
E p重力 mg y
E p弹力

1 kx2 2
W保守内力 (E p2 E p1 ) E p
势能是一相对量. 对于万有引力势能，通常取无穷远处作 为零势能点，即
(
mM e h Re
)2

v2 m
h Re
因此卫星做圆周运动时的总能量为
EM

Ek

Ep

1 mv 2 2
G mM e h Re
G mM e G mM e 2(h Re ) h Re
G mM e 1.11011J 2(h Re )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
卫星落回到地面（v = 0，h = 0）时的总 能量为
r1
M

r2 r1

G
Mm r3
r

dl

r2 r1

G
Mm r2
cos
dl

dl

m dr
r
F

r2 r1

G
Mm r2
dr
所以W引



G
Mm r2




G
Mm r1

2. 重力的功
G

mg
y y1
m dr
W重
y2
G
F
E p弹 0
x1
x2
m1
m1
m1 E p重 0
m2
m2
m2
解 设弹簧的弹性系数为k ,上面的木板 处于最低状态时的位置为重力势能零点，弹 簧处于自然长度时的位置为弹性势能零点 , 如图所示.
则m1上跳使弹簧必须伸长 x1 m2 g k ， 才能使下面的木板恰能提起，正压力F 压上
解 该问题可分解为三个过程加以处理， 即物块下落的过程、物快与平板碰撞的过程、 物块与平板碰撞后弹簧继续被压缩的过程.
在物块下落的过程中，物块是自由下落， 所以到达物块与平板碰撞前，物块的速度为
v1 2gh
h x1
x2
在物块与平板碰撞过程中，由于碰撞过 程时间极为短促，此时重力、弹性力比碰撞 时相互作用的冲力小得多，可以忽略不计， 若碰撞后物块和平板共同前进的速度为 v2， 则由动量守恒定律可得 mv1 (m m)v2

dr
y1
y2
G
y2 mg dr o y1
x
y2 mg cos dr y2 mgdy
y1
y1
所以W重 (mgy2 mgy1)
3. 弹性力的功

F


F kx i
W弹
x2
F

dx i

x1
x2

kx
o
i
dx
i
x1
Q mC 3.7 1010J EM Q
5.如图所示,劲度系数为k 的轻弹簧水平 放置,一端固定,另一端系一质量为m 的物体，
物体与水平面间的摩擦系数为 . 开始时弹
簧没有伸长，现以恒力F 将物体自平衡位置
开始向右拉动，试求系统的最大势能为.
k
m
F
解 由于系统的重力势能不变，所以系 统的势能仅为弹性势能. 弹性势能最大处并 不在合力为零的位置处，而是在速度为零的 位置处，所以由动能定理得