高中数学空间几何体的内切球与外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题

1． [2016 ·全国卷Ⅱ ] 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 (

[解析 ]A 因为正方体的体积为 8，所以正方体的体对角线长为 2 3，所以正方体的外接球

的半径为 3，所以球的表面积为 4π· ( 3)2＝ 12 π .

2．[2016 全·国卷Ⅲ ] 在封闭的直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为 V 的球．若 AB ⊥BC ， AB ＝6， BC ＝8，AA 1＝3，则 V 的最大值是 ( )

－r 1＝ 10，解得 r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为 r 2，

3

3 3

4 3

9 则 2r 2＝3，即 r 2＝ 32.∴球的最大半径为 32，故 V 的最大值为 43π × 23 ＝9

2π. 3. [2016 郑·州模拟 ] 在平行四边形 ABCD 中，∠ CBA ＝ 120°， AD ＝4，对角线 BD ＝2 3， 将其沿对角线 BD 折起，使平面 ABD ⊥平面 BCD ，若四面体 ABCD 的顶点在同一球面上， 则该球的体积为 _____ 答案： 203 5π；解析：因为∠ CBA ＝ 120°，所以∠ DAB ＝60°，在三角形 ABD 中，由余弦

3

定理得 (2 3)2＝42＋AB 2－2×4·AB ·cos 60°，解得 AB ＝ 2，所以 AB ⊥BD.折起后平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，即有 AB ⊥平面 BCD ，如图所示，可知 A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四

4. [2016 山·西右玉一中模拟 ] 球 O 的球面上有四点 S ，A ，B ，C ，其中 O ，A ，B ，C 四点共 面，△ ABC 是边长为 2 的正三角形，平面 SAB ⊥平面 ABC ，则棱锥 S-ABC 的体积的最大 值为 ( )

A. 33

B. 3 C ．2 3 D ．4

选 A ；[解析] (1)由于平面 SAB ⊥平面 ABC ，所以点 S 在平面 ABC 上的射影 H 落在

AB 上，

A ．12π

32 B. 3 π

C ． 8π

D ． 4π A ．4π 9π B. 2π

C ．6π 32π D. 3

[解析 ]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为 r 1，∵ AB ⊥ BC ，AB ＝ 6，BC ＝8，∴8－r 1＋6 个顶点， 长方体的体对角线 AC 就是四面体 ABCD 外接球的直径， 易知 AC ＝ 22＋42

＝2 5，

所以球的体积为

20 5

所以 SH ＝ 233 2－ 33 2＝1，

根据球的对称性可知， 当 S 在“最高点”， 即 H 为 AB 的中点时， SH 最大，此时

棱锥 S-ABC

的体积最大．

因为△ ABC 是边长为 2 的正三角形，所以球的半径

r ＝OC ＝32

CH ＝2

3

× 23

×2＝ 23 3

在 Rt △SHO 中， OH ＝1

2OC ＝ 3，

3，

5. [2016 赣·州模拟 ] 如图 7-38-19 所示，设 A ，B ，C ，D 为球 O 上四点， AB ，AC ，AD 两两 垂直，且 AB ＝AC ＝ 3，若 AD ＝ R(R 为球 O 的半径 )，则球 O 的表面积为 ( )

A ．π

B ．2π

C ．4π

D ．8π 选 D ；解析：因为 AB ，AC ，AD 两两垂直，所以以 AB ， AC ，AD 为棱构建一个长方体，如

图所示，则长方体的各顶点均在球面上， AB ＝AC ＝ 3，所以 AE ＝ 6，AD ＝R ，DE ＝ 2R ，

则有 R 2＋6＝(2R)2，解得 R ＝ 2，所以球的表面积 S ＝ 4πR 2＝8π .

6. [2016 安·徽皖南八校三联 ] 如图所示，已知三棱锥 A-BCD 的四个顶点 A ，B ，C ，D 都在球 O 的表面上， AC ⊥平面 BCD ，BC ⊥CD ，且 AC ＝ 3，BC ＝2，CD ＝ 5，则球 O 的表面积

[解析 ]A 由 AC ⊥平面 BCD ，BC ⊥CD 知三棱锥 A-BCD 可以补成以 AC ，BC ，CD 为三

条棱 的长方体，设球 O 的半径为 R ，则有 (2R)2＝AC 2＋BC 2＋CD 2

＝3＋4＋5＝12，所以 S 球＝4π R 2＝ 12π .

7．[2016 福·建泉州质检 ] 已知 A ，B ，C 在球 O 的球面上， AB ＝1，BC ＝2，∠ ABC ＝60°， 且点 O 到平面 ABC 的距离为 2，则球 O 的表面积为 ．

答案： 20π [解析 ] 在△ABC 中用余弦定理求得 AC ＝ 3，据勾股定理得∠ BAC 为直 角，故 BC 的中点 O 1即为△ ABC 所在小圆的圆心， 则 OO 1⊥平面 ABC ，在直角三角形 OO 1B 中可求得球的半径 r ＝ 5，则球 O 的表面积 S ＝ 4πr 2＝ 20π. 8

8 [2016 河·南中原名校一联 ] 如图 K38 - 16 所示， ABCD-A 1B 1C 1D 1 是边长为

1

故所求体积的最大值为 13× 43

×22

×1＝ 3

.

3

.

为( )

A ． 12 π

B ． 7π

C ．9π

D ． 图 7-38-

所以 SH ＝

233 2－ 33 2＝1，

9 25 49 81 A. π B. π C. π D. π 16 16 16 16

81 ＝ π .

16

9．［2013 ·课标全国Ⅰ ］如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一

个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如果不计容 器的厚度，则球的体积为 ( )

866 π 3

B. 3 cm 3

的正方体，

S-ABCD 是高为 1 的正四棱锥，若点 S ，A 1， B 1，C 1，D 1在同一个球面上，则该球的表面积 为( )

D. 3 cm 3

－x ， OG 21， 选D ；［解析］ 如图所示作辅助线，易知球心 O 在SG 1上，设 OG 1＝x ，则 OB 1＝SO ＝2 2

B 1G 1＝ 2 ，则在 Rt △ OB 1G 1 中，由勾股定理得 OB 12＝G 1B 21＋ 2

，解得 x ＝7，所以球的半径 R ＝ 2－ 7＝ 9，所以球的表面

同时由正方体的性质知

即（2－ x ）2＝x 2＋

22 πR

2 500 π 3

A. 3 cm 3

1 37

2 π 3

C. 3 cm 3