机械振动基础

§2.4 机械系统的强迫振动响应
2.4.1 简谐激励下的强迫振动
振动特性分析：品质因子
1 • 定义为共振时的放大因子：Q 2
• Q反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰陡峭程度， 为了过共振区比较平稳，希望Q值小些。
振动特性分析：相频特性 • 强迫振动的位移响应落后于激振力，由相频特 性曲线，共振时相位差为 ，与阻尼比ζ无关。
由微分方程解的理论，可设其解为：
x e st
特征方程： 其特征根为：
2 s2 2ns n 0
当 s1 s2 时，得原方程的通解为：
2 s1, 2 n n 2 n
xe
nt
(C1e
2 n 2 n t
C2 e
2 n 2 n t
)
当 s1 s2 时，得原方程的通解为：
结论：系统不再具有振动 特性，位移按指数规律衰 减。
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.2 自由振动的响应分析 二、有阻尼自由振动 2、临界阻尼状态下的响应
x t
x0
临界阻尼：
0 0 x
rc 2 Km
0 0 x
0
0 0 x
xe
t
n t
0 n x0 t x0 x
结论：系统不具有振动 特性。
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.2 自由振动的响应分析 二、有阻尼自由振动
x(t )
x0
Ae at
3、弱阻尼状态 x Ae nt sin 初始条件：x0 A sin
t
0 A x

n2 n2 t


0

2 n n2 cos n sin
P62：简单元件的刚度计算公式
§2.2 机械振动系统的建模基础 二、振动系统力学模型三要素
2. 质量：表示力（力矩）与加速度（角加 速度）关系的元件，在力学模型中抽象为绝 对不变形的刚体。
平动：
F ma
扭转：
m ——刚体的质量 M J
J ——刚体的转动惯量
§2.2 机械振动系统的建模基础
§2.4 机械系统的强迫振动响应
2.4.1 简谐激励下的强迫振动
影响强迫振动振幅的因素： 1. 激振力幅值的影响，当其他条件不变时，强 迫振动的振幅与激振力的幅值成正比，即
B F0
2. 频率比λ的影响：
B B0 1
1
2 2

2
2
——振幅放大因子
§2.4 机械系统的强迫振动响应
风引起的桥梁振动和骑兵正步过桥引起的振动会使大 桥震垮。剧烈的振动会加速设备疲劳破坏，固体和气 体的振动会产生噪声等等。总之，振动现象以往主要 是作为不好的现象来加以研究的，它经常是以我们人
类的“敌人”的面貌出现的。
振动又是人类最亲密的朋友
§2.1 振动概述 “大振动”现象
§2.1 振动概述 “大振动”现象
K
st
m
C
单自由度系统有阻尼自由振 K ( x st ) 动的运动微分方程：
cx
cx Kx 0 mx
令：
2 n c 2m n K m
x
mg
得：
2 x 2nx n x 0
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.2 自由振动的响应分析 二、有阻尼自由振动
机电设备故障诊断
机电设备故障诊断
(Remote Fault Diagnosis)
机电设备故障诊断
第二章 机械振动基础
本章内容：
○ 振动概述 ○ 机械振动系统的建模基础
○ 机械系统的自由振动响应
○ 机械系统的强迫振动响应
§2.1 振动概述 “大振动”现象
坐汽车、火车、轮船时的振动，有时会使人颠簸得难受
§2.1 振动概述
2.1.1 机械振动及其分类
定义：受外界条件的影响，机械系统围绕其平衡位置 做往复运动。 输 入(Input) 激 励(Excitation) 1) 2) 3) 输 出(Output) 响 应(Response)
系
统
推断系统的传递特性。(系统辨识) 推断导致该输出的输入量。 (反求) 推断和估计系统的输出量。(预测)
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.2 自由振动的响应分析 二、有阻尼自由振动
x t
n Ce 1
2 n2 n t
1、强阻尼状态下的响应

xCe
1
2 n n2 n t

C e
2
2 n n2 n t

n Ce 1
n
2
2 n
t
t
§2.1 振动概述
2.1.2 机械振动按其输出的分类 2. 非简谐周期振动
x t x t nT
§2.1 振动概述
2.1.2 机械振动按其输出的分类 3. 准周期振动
x t A sin 2 fit i
i 1

至少存在一个 f n / f m 不为有理数
2.4.1 简谐激励下的强迫振动
x t x1 t x2 t 振动响应：
x1 t Aent sin

2 n n2 t ——瞬态解

x2 t B sin t ——稳态解 2 B0 arctan B 2 2 1 2 2 1 2
2
§2.4 机械系统的强迫振动响应
2.4.2 周期激励下的强迫振动
F1 t
线性振动系统
x1 t
F2 t
线性振动系统
x2 t
叠 加 原 理
•傅立叶级数分析法 •傅立叶变换法
•脉冲响应函数法
c1 x1 t c2 x2 t
c1F 1 t c2 F 2 t
2. 常力只改变系统的静平衡位置，不影响系 统的固有频率、振幅和初相位，即不影响系统的振 动。在分析振动问题时，只要以静平衡位置作为坐 标原点就可以不考虑常力。
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.2 自由振动的响应分析 二、有阻尼自由振动
振动特性：系统的振幅将逐渐衰减 直至最后停止振动。
mg cx K x st mx
二、振动系统力学模型三要素
3. 阻尼：在振动、冲击和噪声领域主要有：
→ 粘性阻尼（线性阻尼）；
→ 干摩擦阻尼（库伦阻尼）； → 结构阻尼（材料内阻）。
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.1 自由振动的响应分析 一、无阻尼自由振动 1、直线振动 振动微分方程的标准形式： 其解为：
x x 0
n Kt J
J

D
n ——系统扭转振动的固有频率
其中， Kt ——扭转刚度
J ——转动惯量
扭振模型
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.1 自由振动的响应分析 几点重要结论： 1. 单自由度系统的无阻尼自由振动是一种简 谐振动，其振动频率只取决于系统本身的结构特性 (因此称之为固有频率)，而与初始条件无关；振动 的振幅和初相位与初始条件有关。
2.4.1 简谐激励下的强迫振动 振动特性分析：
幅频特性曲线
相频特性曲线
§2.4 机械系统的强迫振动响应
2.4.1 简谐激励下的强迫振动 振动特性分析：影响强迫振动振幅的因素
• 1 时， 1：振幅与激振力幅值作用引起的静 变位差不多，激振力变化缓慢影响不大； • 1 时， 0 ：当激振力频率很高时，系统由于 惯性跟不上迅速变化的激振力，振动消失； • 1 时， ：共振； • 2 时， 1 ：系统振动的振幅小于静变位。
2 n
x Asin nt
直线振动模型
——初相位，与初始条件有关 n ——固有频率，与系统结构特 性有关，与初始条件无关。
A ——振幅
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.1 自由振动的响应分析 一、无阻尼自由振动
d
2、扭转振动 振动微分方程：
2 0 n
其中： B0 F0
K n
——静变位
c ——阻尼比 n 2 mK
——频率比 n
§2.4 机械系统的强迫振动响应
2.4.1 简谐激励下的强迫振动 振动特性分析：
1. 系统在简谐激振力作用下的强迫振动是与激 振力同频率的简谐振动； 2. 强迫振动的振幅和相位差都只取决于系统本身 的物理性质和激振力的特性，而与初始条件无关，初 始条件只影响瞬态振动；
§2.1 振动概述
2.1.1 机械振动及其分类
机械振动分类：
1. 按系统的输入不同分类：
→ 自由振动；
→ 强迫振动；
→ 自激振动。 2. 按系统的输出特性分类： → 简谐振动； → 瞬态振动； → 非简谐周期振动； → 准周期振动；
→ 随机振动。
§2.1 振动概述
2.1.1 机械振动及其分类
3. 按系统特性（自由度数目）分类：
§2.4 机械系统的强迫振动响应
2.4.1 简谐激励下的强迫振动 振动微分方程：
K
C
K ( x st )
2 n x 2nx x h sin t
其中：
cx
m
F F0 sin(t ) x(t )
K m
2 n
Байду номын сангаас
c n 2m
mg F
F0 h m
§2.4 机械系统的强迫振动响应
x ent (C1 C2t )
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.2 自由振动的响应分析 二、有阻尼自由振动 三种情况讨论：
n n ① n n ， 1 ：强阻尼状态；
② n n ， 1 ：弱阻尼状态；
阻尼比：
③ n ， 1 ：临界阻尼状态。 n
§2.1 振动概述
2.1.2 机械振动按其输出的分类 4. 瞬态振动
只在某一确定时间段内才发生的振动，可用各 种脉冲函数和衰减函数加以确定。
§2.1 振动概述
2.1.2 机械振动按其输出的分类 5. 随机振动
不能用精确的数学关系式加以描述，只能根据 随机过程的理论用数理统计的方法对其进行分析处 理。
→ 高频振动 ( >10KHz )。 本章只讨论有限自由度的线性振动
§2.1 振动概述
2.1.2 机械振动按其输出的分类 1. 简谐周期振动
§2.1 振动概述
2.1.2 机械振动按其输出的分类 1. 简谐周期振动
2 t x t A sin 2 f0t A sin T
简谐振动三要素 • 振幅 (Amplitude)
•
•
圆频率 (Angular frequency)
初相角 (Initial phase)
§2.1 振动概述
2.1.2 机械振动按其输出的分类 1. 简谐周期振动
振动位移、速度、加速度之间的关系 v x

a
位移、速度、加速度都是同频率的简谐波。 三者的幅值依次为A、A、A 2。 相位关系：加速度领先速度90º ; 速度领先位移90º 。
家里的冰箱电扇空调因振动而产生的噪音使人心烦意乱
§2.1 振动概述 “大振动”现象
美 唐 印 汶 国 山 尼 川 新 地 海 大 奥 震 啸 地 尔 遗 震 良 址 飓 风
可怕的地震、海啸、飓风使人民生命财产受到巨大损失
§2.1 振动概述 “大振动”现象
振动会使许多机器损坏，飞机和导弹失灵。因大
A
t1
2 2 2 0 0 x0 n x 2nx x0 2 n n2
Td
2 x0 n n2 arctan 0 nx0 x
振动特性：振幅按照 Ae nt 规律衰减，并最终消失。
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.2 自由振动的响应分析
3、弱阻尼状态
振动特性： (1)阻尼系统的振动名义周期略为增大； (2)阻尼使系统振动的振幅按几何级数衰减。
§2.2 机械振动系统的建模基础
一、建模前的准备
1. 连续系统的离散化 2. 非线性系统的线性化
n1 T1
K (t )
n2 T2
m1
C
m2
齿轮副的简化振动模型
§2.2 机械振动系统的建模基础 二、振动系统力学模型三要素
1. 弹簧：线性化假设
F Kx
F
——弹性恢复力
——弹簧变形量
x
K
—— 弹簧的刚度
→ 单自由度系统的振动；
→ 多自由度系统的振动；
→ 弹性体振动。
4. 按描述系统的微分方程分类：
→ 线性振动；
→ 非线性振动。
§2.1 振动概述
2.1.1 机械振动及其分类
5. 按振动位移的特征分类：
→ 扭转振动；
→ 直线振动。 6. 按频率范围分类： → 低频振动（ <1KHz ）；
→ 中频振动（ 1~10KHz ）；