关于椭圆中心三角形面积的最值

关于椭圆中心三角形面积的最大值

邬天泉 浙江三門中學 317100

椭圆的中心与椭圆的一条弦的两个端点所确定的三角形称为椭圆的中心三角形.当该三角形的面积最大的时候,其弦所在的直线有些鲜为人知的特征.本文用初等方法求出了椭圆的中心三角形的面积的最大值并分析了焦点弦所在的中心三角形何时能取得哪个最大值.

已知直线 Ax+By+C=0与椭圆22

221x y a b

+=交于P,Q 两点，O 为椭圆中心，试证：当且仅当222222a A b B C +=时，OPQ ∆有最大面积

12ab .[]1 证明 若A=0,则弦PQ 在直线y=h 上，(),C h b b B

=-

∈-.

122OPQ a S h h b ∆=⋅⋅= ()22212a h b h b ≤⋅+-=12

ab . 当且仅当222h b =即222

2b B C =时取等号. 若0A ≠，直线PQ 的方程可写成：0,,B C y x m m A A

λλ++==

=. 代入方程222222b x a y a b +=，消去x 并整理得： ()()2222222220,a b y mb y b m a λλ+++-=

()2222

12122222222,.b m a mb y y y y a b a b λλλ

-∴+=-=++ ()

()()()222222222222212222222222244a b a b m b m b y y m a a b a b a b λλλλλ+-⎡⎤∴-=--=⎢⎥++⎣⎦+. 记 2221,a b

t λ+= 又121.2OPQ S m y y ∆=⋅- 22222222222111.244OPQ S m t t m t a b m m m

m ∆⎛⎫∴=-+=--+≤ ⎪⎝⎭ 1.2OPQ S ab ∆∴≤

当且仅当212t m =即22222a b m λ+=时，等号成立， 这时222222.a A b B C += 证毕

注意 当12

OPQ S ab ∆=时,直线L 的特征,下面仅举一个特例，一般情况留给读者思考。

已知直线L 与椭圆1y 2

3x 22=+交于A 、B 两点, O 为椭圆中心，，若⊿AOB 的面积为6

6，则直线L 不过椭圆的焦点。 证明：这里12OAB S ab ∆==66, 3

1321b a c 222=-=-=，焦点)0,33(F 1-，)0,33(F 2. 假设直线L 过焦点)0,33(F 1-

，则L 的方程可写为：33x y +=λ，代入1y 23x 22=+消去x 并整理得：,032y 332y 2322=-λ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+

λ 设A )y ,x (B ),y ,x (2211, 则 232322123

23

3

221y y ,y y +λ-

=+λλ

=+, ()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++λλ+λ=-+=-∴2y y 4y y y y 232223234

21221221 =()()223

223334+λ+λ. 2

32221AOB 133y y 3321S +λ+λ⋅=-⋅=∆ =121

113322+λ++λ⋅662

133=⋅≤. 当且仅当1

21122+λ=+λ212-=λ⇔时，等号成立，但这是不可能的， ∴ 66S AOB <∆与已知6

6S AOB =∆矛盾。 ∴ 直线L 不过焦点)0,3

3(F 1-。 同理直线L 也不过焦点)0,33(F 2-

。证毕 参考文献

[1] 邬天泉 《数学问题解答》第1319题《数学通报》2001-6，7