§3-5 傅里叶变换的性质
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∞ −∞
∫ x (τ)e
− jΩ
τ a
Ω 1 X(j ) dτ = −a a
4
例如
x(t) ← ⎯→ X ( jΩ)
FT
x(t )
1
τ −2 τ 2
τ
X ( jΩ )
τ X ( jΩ) = τSa(Ω ) 2 τ τ x(2t) ← ⎯→ Sa(Ω ) 2 4
FT
t
2π τ
Ω
x(2t )
1
τ −4 τ 4
= X ( j Ω ) e − jΩ t 0
8
x(t )
1
τ −2 τ 2
1
t
τ x(t − ) 2
τ 2
τ
X ( jΩ )
τ t
2π τ
Ω
τ 2
τ τ ⎫ τ − jΩ 2 ⎧ ℱ ⎨ x ( t − ) ⎬ = τ Sa ( Ω ) e 2 ⎭ 2 ⎩
−Ω
2π τ
−π
Ω
τ 2
信号经过时移后，其对应的频 谱（傅里叶变换）中的振幅频谱没 有变化，只是相位频谱增加了一个 相对于频率Ω线性变化的分量。
Ω 1 x(at ) ←⎯→ X ( j ) a a
FT
（a为非零实常数）
∞ τ a
因为，当a>0
1 − jΩ t x ( at ) e dt = ∫ a −∞
∞ −∞
∫ x (τ)e
∞
− jΩ
Ω 1 dτ = X ( j ) a a
同样，当a<0
1 − jΩ t x ( at ) e dt = ∫ −a −∞
τ −2
τ 2
t
−B 2
B 2
Ω
如上图，假设实线图形表示一对傅里叶变换，虚线图形 是面积与对应实线图形相等的矩形。时间图形中的矩形宽 度τ，称为对应波形的等效脉冲宽度，简称脉宽或时宽； 频域图形中的矩形宽度B，称为对应波形的等效频带宽 度，简称频宽。
6
x(t )
x (0)
X ( jΩ )
X ( j 0)
∞
j[ ϕ ( Ω ) − Ω t0 ]
−∞
∫
x ( t − t 0 ) e − j Ω t dt
令 t-t0=τ，dt=dτ，于是上式等于
ℱ {x ( t − t 0 )} =
∞ −∞
∫ x (τ)e
− jΩ ( τ + t 0 )
− jΩ t 0 = e dτ
∞
−∞
∫
x ( τ ) e − jΩ τ d τ
18
七、反褶与共轭特性 设 则
FT x(t ) ←⎯→ X ( jΩ )
x ( − t ) ← ⎯→ X ( − j Ω )
FT
FT x * ( t ) ← ⎯→ X * ( − jΩ )
由傅里叶变换公式很容易证明。 八、奇偶、虚实性 1、实信号
FT x(t ) = x* (t ) ←⎯→ X ( jΩ ) = X * ( − jΩ )
x(t ) cos Ω 0t
t
1 2
ℱ {x (t ) cos Ω 0 t }
− Ω0
Ω0
Ω
13
x(t)cosΩ0t的图形是一幅度随信 号x(t)变化的正弦波形，称这种波 为调幅波，对应信号称为已调信号。 x(t)称为调制信号或基带信号， 对应信号的频带宽度，称为基带带 宽。cosΩ0t称为载波信号或受调信 号，它的频率称为载波频率，简称 载频。 获得已调信号的过程称为调 制。通过调制，基带信号的频 谱被保留，并整体搬移到载波 频率处。
所以，当x(t)是实信号，就有
X ( j Ω ) = X ( − jΩ ) X R (Ω ) = X R ( − Ω )
ϕ(Ω) = −ϕ(−Ω)
X I (Ω ) = − X I ( − Ω )
•即实信号的傅里叶变换，模与实部是偶函数，相位与虚 部是奇函数。(共轭对称)
20
问题：虚信号？
•(共轭反对称)
−
τ 2
τ 2
t
−
B 2
B 2
Ω
由上图可见，两矩形的面积分别为
∞
τ ⋅ x ( 0) =
−∞
− jΩ t x ( t ) dt = [ x ( t ) e dt ]Ω = 0 = X ( j 0) ∫ ∫ −∞
∞
∞
B ⋅ X ( j 0) =
−∞
jΩ t X ( j Ω ) d Ω = [ X ( j Ω ) e dΩ ]t = 0 = 2 πx (0) ∫ ∫ −∞
1 x ′( t ) = 2π
∞ −∞
−∞
∫
X ( j Ω ) e jΩ t d Ω
∫
j Ω X ( j Ω ) e jΩ t d Ω
17
同样，由傅里叶正变换公式 两边同时对角频率Ω求导数可得
dX ( j Ω ) = dΩ
∞
∞
X ( jΩ ) =
−∞
− jΩ t x ( t ) e dt ∫
−∞
∫−
y (t ) = x(t ) cos Ω 0t cos Ω 0t z (t )
Ω
1 2
x(t )
Y ( jΩ )
z (t ) = y (t ) cos Ω 0t = x(t ) cos 2 Ω 0t
− Ω0
Ω0
Ω
x(t ) = (1 + cos 2Ω 0t ) 2
− 2Ω 0 − Ω0 − Ωc
Z ( jΩ )
cos Ω 0t
t
x(t )
t
其傅里叶变换
ℱ {x ( t ) cos Ω 0 t }
1 = { X [ j (Ω − Ω 0 )] + X [ j (Ω + Ω 0 )]} 2
12
x(t ) cos Ω 0t
t
若设信号x(t)的傅里叶变换如图：
x(t )
1
X ( jΩ )
t
Ω
x(t)cosΩ0t的傅里叶变换就应该如下图所示：
FT x(t ) ←⎯→ X ( jΩ )
FT x ( t ) e jΩ 0 t ← ⎯→ X [ j ( Ω − Ω 0 )]
ℱ x ( t ) e jΩ 0 t
{
} = ∫ x (t ) e
−∞
∞
∞
jΩ 0 t
e − j Ω t dt =
−∞
∫
x ( t ) e − j ( Ω − Ω 0 ) t dt
16
六、微分特性 设 则
FT x(t ) ←⎯→ X ( jΩ )
FT x ′( t ) ← ⎯→ jΩ X ( jΩ )
------时域微分性 ------频域微分性
1 x (t ) = 2π
∞
dX ( j Ω ) − jtx ( t ) ← ⎯→ dΩ
FT
因为，由傅里叶反变换公式 等号两边同时对时间t求导数
X I (Ω ) = − X I ( − Ω ) = − X I (Ω ) = 0
•即实偶信号的傅里叶变换是实偶函数。 3、实奇信号
FT x(t ) = x* (t ) = − x(−t ) ←⎯→ X ( jΩ ) = X * ( − j Ω ) = − X ( − jΩ )
(π)
− Ω0
( − π)
于是，正、余弦信号的傅里叶变换
cos Ω 0 t =
Ω0
Ω
1 jΩ 0 t FT (e + e − jΩ 0 t ) ←⎯→ π[ δ ( Ω − Ω 0 ) + δ ( Ω + Ω 0 )] 2 1 FT sin Ω 0 t = ( e jΩ 0 t − e − jΩ 0 t ) ←⎯→ jπ[ δ ( Ω + Ω 0 ) − δ ( Ω − Ω 0 )] 2j
§3-5 傅里叶变换的基本性质
信号的时间函数式与其傅里叶变换，分别从时域和频 域对同一信号进行了描述。傅里叶变换的性质就建立起信 号时间特性和频率特性之间的对应关系。理解和掌握这些 性质，对以后的学习至关重要。 一、线性 设 则
FT xi (t ) ←⎯→ X i ( jΩ )
FT x(t ) = ∑ ci xi (t ) ←⎯→ X ( jΩ) = ∑ ci X i ( jΩ) i =1 i =1
19
设
X ( jΩ) = X ( jΩ) e jϕ( Ω ) = X R (Ω) + jX I (Ω)
X * ( jΩ) = X ( jΩ) e − jϕ( Ω ) = X R (Ω) − jX I (Ω)
于是
X * (− jΩ) = X (− jΩ) e − jϕ( − Ω ) = X R (−Ω) − jX I (−Ω)
0
0
a=1/2, t0=1
ω −j 1 另可证明 F [ f (at − t0 )] = F ( )e a a
t 1 ∴F [ε ( − 1)] = 2[πδ (2ω ) + ] ⋅ e − j 2ω 2 2 jω
ωt 0
a
F [ε ( t )] = πδ (ω ) +
1 jω
10
五、频移特性与调幅波 设 则 因为
1 2
Ωc
Ω0
2Ω 0 15
Ω
利用频移特性，可以求得正、余弦信号的傅里叶变换。 已知直流信号的傅里叶变换是强度为2π的冲激，
1 ←⎯→ 2 πδ ( Ω )
FT
ℱ
(π)
{cos Ω0t}
(π)
根据频移特性
1⋅ e
jΩ 0 t
− Ω0
FT
Ω0
jℱ
Ω
←⎯→ 2 πδ ( Ω − Ω 0 )
{sin Ω0t}
FT * * x ( t ) = − x ( t ) ← ⎯→ X ( j Ω ) = − X ( − j Ω ) 2、实偶信号
FT x(t ) = x* (t ) = x(−t ) ←⎯→ X ( jΩ ) = X * ( − j Ω ) = X ( − j Ω )
于是
X R (Ω ) = X R ( − Ω )
∞
所以有
B ⋅ τ = 2π
2π B= τ
•即信号的时宽频宽积等于 常量，或频宽与时宽成反 比关系。 7
四、时移特性 设 则 因为
ℱ {x ( t − t 0 )} =
FT x(t ) ←⎯→ X ( jΩ )
FT x ( t − t 0 ) ← ⎯→ X ( j Ω ) e − jΩ t 0 = X ( j Ω ) e
jtx ( t ) e
− jΩ t
dt
dX ( j Ω ) tx ( t ) ← ⎯→ j dΩ
FT
例如： du ( t )
dt
= δ (t )
对应的傅里叶变换
jΩ 1 = j 0 ⋅ πδ ( Ω ) + =1 δ(t ) ←⎯→ jΩ[πδ(Ω) + ] jΩ jΩ
FT
再例如：
1 d [πδ ( Ω ) + ] 1 jΩ FT ′ = jπ δ ( Ω ) − 2 tu ( t ) ← ⎯→ j Ω dΩ
= X [ j ( Ω − Ω 0 )]
同样道理
FT x ( t ) e − jΩ 0 t ← ⎯→ X [ j ( Ω + Ω 0 )] 11
设信号x(t)与一等幅正弦波相乘， 其波形如图：
x(t ) jΩ0t x(t ) cos Ω 0t = ( e + e − jΩ 0 t ) 2 1 = [ x(t )e jΩ0t + x(t )e − jΩ0t ] 2
x(t )
1
τ −2 τ 2
τ
X ( jΩ )
t
2π τ
Ω
τ
X ( jt )
x (Ω )
2π
若x(t)是偶对称的，则
FT X ( jt ) ←⎯→ 2πx(Ω)
2π τ
t
τ −2
τ 2
Ω
2
x(t)
X ( jΩ )
1
例如：
(1)
FT δ(t ) ←⎯→ 1
0
t
X ( jt )
0
Ω
FT 1 ←⎯→ 2πδ(Ω)
τ 2
Ω 1 X( j ) 2 2
t
2τ
4π τΒιβλιοθήκη Baidu
Ω
2 X ( j 2Ω)
1 t FT x( ) ← ⎯→2τSa(Ωτ) 2 −τ
t x ( ) 2
τ
t
π τ
Ω
5
从上例可清楚地看出，信号的时间波形宽度变窄，频 率波形的宽度就变宽；反之，频率波形的宽度就变窄。
x(t )
x (0)
X ( jΩ )
X ( j 0)
1
0
( 2 π)
x(Ω)
Ω
t
0
事实上，这个性质是出自于傅里叶正、反变换公式的 对称关系
∞
X ( jΩ ) = 1 x (t ) = 2π
−∞ ∞
∫
x ( t ) e − j Ω t dt
−∞
∫
X ( j Ω ) e jΩ t d Ω
3
三、展缩（尺度变换）特性 设 则
FT x(t ) ←⎯→ X ( jΩ )
N
N
1
2u (t )
sgn(t ) t
−1
例如：
x(t ) = sgn(t ) = 2u (t ) − 1
2
t
1 −1
t
1 2 X ( jΩ ) = 2[ πδ (Ω ) + ] − 2 πδ (Ω ) = jΩ jΩ
二、时频对偶性 设 FT x(t ) ←⎯→ X ( jΩ ) 则
FT X ( jt ) ←⎯→ 2πx(−Ω)
x(t ) cos Ω 0t
t
x(t )
y (t ) = x(t ) cos Ω 0t cos Ω 0t
ℱ {x (t ) cos Ω 0 t }
1 2
− Ω0
Ω0
Ω
14
由已调信号恢复基带信号的过程，称为解调。对于以 正弦信号为载波的调幅波，解调与调制过程类似：让已 调信号与其载波频率相同的正弦波相乘，再通过一频率 选择性滤波器。
ϕ(Ω) − Ω
2π τ
−π − 2π
9
Ω
t 例一：求函数f (t ) = ε ( − 1)的付里叶变换。（4分） 2 jω 1 （武汉理工大学研究生入学试题） F (at ) ↔ F ( ) a a
解：由时移特性知：
F [ f (t − t0 )] = F (ω )e − jωt F [ f (t + t0 )] = F (ω )e jωt
∫ x (τ)e
− jΩ
τ a
Ω 1 X(j ) dτ = −a a
4
例如
x(t) ← ⎯→ X ( jΩ)
FT
x(t )
1
τ −2 τ 2
τ
X ( jΩ )
τ X ( jΩ) = τSa(Ω ) 2 τ τ x(2t) ← ⎯→ Sa(Ω ) 2 4
FT
t
2π τ
Ω
x(2t )
1
τ −4 τ 4
= X ( j Ω ) e − jΩ t 0
8
x(t )
1
τ −2 τ 2
1
t
τ x(t − ) 2
τ 2
τ
X ( jΩ )
τ t
2π τ
Ω
τ 2
τ τ ⎫ τ − jΩ 2 ⎧ ℱ ⎨ x ( t − ) ⎬ = τ Sa ( Ω ) e 2 ⎭ 2 ⎩
−Ω
2π τ
−π
Ω
τ 2
信号经过时移后，其对应的频 谱（傅里叶变换）中的振幅频谱没 有变化，只是相位频谱增加了一个 相对于频率Ω线性变化的分量。
Ω 1 x(at ) ←⎯→ X ( j ) a a
FT
（a为非零实常数）
∞ τ a
因为，当a>0
1 − jΩ t x ( at ) e dt = ∫ a −∞
∞ −∞
∫ x (τ)e
∞
− jΩ
Ω 1 dτ = X ( j ) a a
同样，当a<0
1 − jΩ t x ( at ) e dt = ∫ −a −∞
τ −2
τ 2
t
−B 2
B 2
Ω
如上图，假设实线图形表示一对傅里叶变换，虚线图形 是面积与对应实线图形相等的矩形。时间图形中的矩形宽 度τ，称为对应波形的等效脉冲宽度，简称脉宽或时宽； 频域图形中的矩形宽度B，称为对应波形的等效频带宽 度，简称频宽。
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x(t )
x (0)
X ( jΩ )
X ( j 0)
∞
j[ ϕ ( Ω ) − Ω t0 ]
−∞
∫
x ( t − t 0 ) e − j Ω t dt
令 t-t0=τ，dt=dτ，于是上式等于
ℱ {x ( t − t 0 )} =
∞ −∞
∫ x (τ)e
− jΩ ( τ + t 0 )
− jΩ t 0 = e dτ
∞
−∞
∫
x ( τ ) e − jΩ τ d τ
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七、反褶与共轭特性 设 则
FT x(t ) ←⎯→ X ( jΩ )
x ( − t ) ← ⎯→ X ( − j Ω )
FT
FT x * ( t ) ← ⎯→ X * ( − jΩ )
由傅里叶变换公式很容易证明。 八、奇偶、虚实性 1、实信号
FT x(t ) = x* (t ) ←⎯→ X ( jΩ ) = X * ( − jΩ )
x(t ) cos Ω 0t
t
1 2
ℱ {x (t ) cos Ω 0 t }
− Ω0
Ω0
Ω
13
x(t)cosΩ0t的图形是一幅度随信 号x(t)变化的正弦波形，称这种波 为调幅波，对应信号称为已调信号。 x(t)称为调制信号或基带信号， 对应信号的频带宽度，称为基带带 宽。cosΩ0t称为载波信号或受调信 号，它的频率称为载波频率，简称 载频。 获得已调信号的过程称为调 制。通过调制，基带信号的频 谱被保留，并整体搬移到载波 频率处。
所以，当x(t)是实信号，就有
X ( j Ω ) = X ( − jΩ ) X R (Ω ) = X R ( − Ω )
ϕ(Ω) = −ϕ(−Ω)
X I (Ω ) = − X I ( − Ω )
•即实信号的傅里叶变换，模与实部是偶函数，相位与虚 部是奇函数。(共轭对称)
20
问题：虚信号？
•(共轭反对称)
−
τ 2
τ 2
t
−
B 2
B 2
Ω
由上图可见，两矩形的面积分别为
∞
τ ⋅ x ( 0) =
−∞
− jΩ t x ( t ) dt = [ x ( t ) e dt ]Ω = 0 = X ( j 0) ∫ ∫ −∞
∞
∞
B ⋅ X ( j 0) =
−∞
jΩ t X ( j Ω ) d Ω = [ X ( j Ω ) e dΩ ]t = 0 = 2 πx (0) ∫ ∫ −∞
1 x ′( t ) = 2π
∞ −∞
−∞
∫
X ( j Ω ) e jΩ t d Ω
∫
j Ω X ( j Ω ) e jΩ t d Ω
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同样，由傅里叶正变换公式 两边同时对角频率Ω求导数可得
dX ( j Ω ) = dΩ
∞
∞
X ( jΩ ) =
−∞
− jΩ t x ( t ) e dt ∫
−∞
∫−
y (t ) = x(t ) cos Ω 0t cos Ω 0t z (t )
Ω
1 2
x(t )
Y ( jΩ )
z (t ) = y (t ) cos Ω 0t = x(t ) cos 2 Ω 0t
− Ω0
Ω0
Ω
x(t ) = (1 + cos 2Ω 0t ) 2
− 2Ω 0 − Ω0 − Ωc
Z ( jΩ )
cos Ω 0t
t
x(t )
t
其傅里叶变换
ℱ {x ( t ) cos Ω 0 t }
1 = { X [ j (Ω − Ω 0 )] + X [ j (Ω + Ω 0 )]} 2
12
x(t ) cos Ω 0t
t
若设信号x(t)的傅里叶变换如图：
x(t )
1
X ( jΩ )
t
Ω
x(t)cosΩ0t的傅里叶变换就应该如下图所示：
FT x(t ) ←⎯→ X ( jΩ )
FT x ( t ) e jΩ 0 t ← ⎯→ X [ j ( Ω − Ω 0 )]
ℱ x ( t ) e jΩ 0 t
{
} = ∫ x (t ) e
−∞
∞
∞
jΩ 0 t
e − j Ω t dt =
−∞
∫
x ( t ) e − j ( Ω − Ω 0 ) t dt
16
六、微分特性 设 则
FT x(t ) ←⎯→ X ( jΩ )
FT x ′( t ) ← ⎯→ jΩ X ( jΩ )
------时域微分性 ------频域微分性
1 x (t ) = 2π
∞
dX ( j Ω ) − jtx ( t ) ← ⎯→ dΩ
FT
因为，由傅里叶反变换公式 等号两边同时对时间t求导数
X I (Ω ) = − X I ( − Ω ) = − X I (Ω ) = 0
•即实偶信号的傅里叶变换是实偶函数。 3、实奇信号
FT x(t ) = x* (t ) = − x(−t ) ←⎯→ X ( jΩ ) = X * ( − j Ω ) = − X ( − jΩ )
(π)
− Ω0
( − π)
于是，正、余弦信号的傅里叶变换
cos Ω 0 t =
Ω0
Ω
1 jΩ 0 t FT (e + e − jΩ 0 t ) ←⎯→ π[ δ ( Ω − Ω 0 ) + δ ( Ω + Ω 0 )] 2 1 FT sin Ω 0 t = ( e jΩ 0 t − e − jΩ 0 t ) ←⎯→ jπ[ δ ( Ω + Ω 0 ) − δ ( Ω − Ω 0 )] 2j
§3-5 傅里叶变换的基本性质
信号的时间函数式与其傅里叶变换，分别从时域和频 域对同一信号进行了描述。傅里叶变换的性质就建立起信 号时间特性和频率特性之间的对应关系。理解和掌握这些 性质，对以后的学习至关重要。 一、线性 设 则
FT xi (t ) ←⎯→ X i ( jΩ )
FT x(t ) = ∑ ci xi (t ) ←⎯→ X ( jΩ) = ∑ ci X i ( jΩ) i =1 i =1
19
设
X ( jΩ) = X ( jΩ) e jϕ( Ω ) = X R (Ω) + jX I (Ω)
X * ( jΩ) = X ( jΩ) e − jϕ( Ω ) = X R (Ω) − jX I (Ω)
于是
X * (− jΩ) = X (− jΩ) e − jϕ( − Ω ) = X R (−Ω) − jX I (−Ω)
0
0
a=1/2, t0=1
ω −j 1 另可证明 F [ f (at − t0 )] = F ( )e a a
t 1 ∴F [ε ( − 1)] = 2[πδ (2ω ) + ] ⋅ e − j 2ω 2 2 jω
ωt 0
a
F [ε ( t )] = πδ (ω ) +
1 jω
10
五、频移特性与调幅波 设 则 因为
1 2
Ωc
Ω0
2Ω 0 15
Ω
利用频移特性，可以求得正、余弦信号的傅里叶变换。 已知直流信号的傅里叶变换是强度为2π的冲激，
1 ←⎯→ 2 πδ ( Ω )
FT
ℱ
(π)
{cos Ω0t}
(π)
根据频移特性
1⋅ e
jΩ 0 t
− Ω0
FT
Ω0
jℱ
Ω
←⎯→ 2 πδ ( Ω − Ω 0 )
{sin Ω0t}
FT * * x ( t ) = − x ( t ) ← ⎯→ X ( j Ω ) = − X ( − j Ω ) 2、实偶信号
FT x(t ) = x* (t ) = x(−t ) ←⎯→ X ( jΩ ) = X * ( − j Ω ) = X ( − j Ω )
于是
X R (Ω ) = X R ( − Ω )
∞
所以有
B ⋅ τ = 2π
2π B= τ
•即信号的时宽频宽积等于 常量，或频宽与时宽成反 比关系。 7
四、时移特性 设 则 因为
ℱ {x ( t − t 0 )} =
FT x(t ) ←⎯→ X ( jΩ )
FT x ( t − t 0 ) ← ⎯→ X ( j Ω ) e − jΩ t 0 = X ( j Ω ) e
jtx ( t ) e
− jΩ t
dt
dX ( j Ω ) tx ( t ) ← ⎯→ j dΩ
FT
例如： du ( t )
dt
= δ (t )
对应的傅里叶变换
jΩ 1 = j 0 ⋅ πδ ( Ω ) + =1 δ(t ) ←⎯→ jΩ[πδ(Ω) + ] jΩ jΩ
FT
再例如：
1 d [πδ ( Ω ) + ] 1 jΩ FT ′ = jπ δ ( Ω ) − 2 tu ( t ) ← ⎯→ j Ω dΩ
= X [ j ( Ω − Ω 0 )]
同样道理
FT x ( t ) e − jΩ 0 t ← ⎯→ X [ j ( Ω + Ω 0 )] 11
设信号x(t)与一等幅正弦波相乘， 其波形如图：
x(t ) jΩ0t x(t ) cos Ω 0t = ( e + e − jΩ 0 t ) 2 1 = [ x(t )e jΩ0t + x(t )e − jΩ0t ] 2
x(t )
1
τ −2 τ 2
τ
X ( jΩ )
t
2π τ
Ω
τ
X ( jt )
x (Ω )
2π
若x(t)是偶对称的，则
FT X ( jt ) ←⎯→ 2πx(Ω)
2π τ
t
τ −2
τ 2
Ω
2
x(t)
X ( jΩ )
1
例如：
(1)
FT δ(t ) ←⎯→ 1
0
t
X ( jt )
0
Ω
FT 1 ←⎯→ 2πδ(Ω)
τ 2
Ω 1 X( j ) 2 2
t
2τ
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Ω
2 X ( j 2Ω)
1 t FT x( ) ← ⎯→2τSa(Ωτ) 2 −τ
t x ( ) 2
τ
t
π τ
Ω
5
从上例可清楚地看出，信号的时间波形宽度变窄，频 率波形的宽度就变宽；反之，频率波形的宽度就变窄。
x(t )
x (0)
X ( jΩ )
X ( j 0)
1
0
( 2 π)
x(Ω)
Ω
t
0
事实上，这个性质是出自于傅里叶正、反变换公式的 对称关系
∞
X ( jΩ ) = 1 x (t ) = 2π
−∞ ∞
∫
x ( t ) e − j Ω t dt
−∞
∫
X ( j Ω ) e jΩ t d Ω
3
三、展缩（尺度变换）特性 设 则
FT x(t ) ←⎯→ X ( jΩ )
N
N
1
2u (t )
sgn(t ) t
−1
例如：
x(t ) = sgn(t ) = 2u (t ) − 1
2
t
1 −1
t
1 2 X ( jΩ ) = 2[ πδ (Ω ) + ] − 2 πδ (Ω ) = jΩ jΩ
二、时频对偶性 设 FT x(t ) ←⎯→ X ( jΩ ) 则
FT X ( jt ) ←⎯→ 2πx(−Ω)
x(t ) cos Ω 0t
t
x(t )
y (t ) = x(t ) cos Ω 0t cos Ω 0t
ℱ {x (t ) cos Ω 0 t }
1 2
− Ω0
Ω0
Ω
14
由已调信号恢复基带信号的过程，称为解调。对于以 正弦信号为载波的调幅波，解调与调制过程类似：让已 调信号与其载波频率相同的正弦波相乘，再通过一频率 选择性滤波器。
ϕ(Ω) − Ω
2π τ
−π − 2π
9
Ω
t 例一：求函数f (t ) = ε ( − 1)的付里叶变换。（4分） 2 jω 1 （武汉理工大学研究生入学试题） F (at ) ↔ F ( ) a a
解：由时移特性知：
F [ f (t − t0 )] = F (ω )e − jωt F [ f (t + t0 )] = F (ω )e jωt