利用空间向量知识求空间中的二面角 ppt课件

第八章 第七讲 立体几何中的向量方法
第3课时 利用向量知识求空间源自文库面角
第七章 空间中的向量方法
掌握利用向量方法解决面面的夹角的求法． 重点：二面角与向量夹角的关系． 难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表 达线面角和二面角．
第七章 空间中的向量方法
知识点：二面角 温故知新 1．回顾复习二面角及其平面角的定义，求法． 思维导航 2．怎样用空间向量来求二面角的大小？
第七章 空间中的向量方法
课后训练： (1)在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两 个向量分别为 (0,-1,3), (2,2,4), 则这个二面角的余弦值为( )
A .1 5 B ． － 1 5 C .1 5 D ． 以 上 都 不 对
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3
(2)PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC2＝. 求二面角A-PB-C的余弦值．
(1)证明：由于 P A ＝(0，2，－2)， E F ＝(1，0，0)，
则 PA＝EF1×0＋0×2＋(－2)×0＝0， 所以PA⊥EF.
第七章 空间中的向量方法
利用空间向D F 量知识求空间中E的F 二面角
FG
m D F 0， m FG 0，
z12x10，y1 z1 0.
第七章 空间中的向量方法
设平面EFG的法向量n＝(x2，y2，z2)， 同理可得n＝(0，1，1)是平面EFG的一个法向量． 因为cos〈m，n〉＝|m m ||n n|＝522＝1 20＝5 10， 设二面角D-FG-E的平面角为θ，由图可知θ＝π－ 〈m，n〉， 所以cos θ＝－ 1 0 ， 所以二面角D-F5 G-E的余弦值－ 为51 0 ， .
所以n1＝(1，1，1)．同理可求得平面BMN的一个法向
量所n以2＝co(1s，〈－n1，1，n2－〉1=)．n n11
n2 n2
＝ 1 3
＝－1. 33
故所求两平面所成角的余弦值为 1 .
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第七章 空间中的向量方法
利用空间向量知识求空间中的二面角
第七章 空间中的向量方法
【解析】以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1), F(0,0,1),G(-2,1,0).
第七章 空间中的向量方法
第七章 空间中的向量方法
3．用向量方法求二面角 平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的
法 面角向大量小为为n2，φ，<n则1，|cons2φ>||c＝＝os_θθ_，|__则__二__面__角||n＝n1α1|··_－n|n_22|_|l－__β_为__θ_或_．π－θ．设二
第七章 空间中的向量方法
利用空间向量知识求空间中的二面角
AB CD
第七章 空间中的向量方法
利用空间向量知识求空间中的二面角
第七章 空间中的向量方法
利用空间向量知识求空间中的二面角
G ( 1 ，1 ，1 )． 244
GA ＝ (1， － 1， － 1)， 244
G B ＝ (－ 1， － 1， － 1)，
244
1
cos〈 GA， GB〉＝GAGB＝ 8 ＝－1. GAGB 3 3 3 88
第七章 空间中的向量方法
利用空间向量知识求空间中的二面角1 .
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方法二：设平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)．
A M ＝ (－ 1 ， 0 ， 1 )， A N ＝ (－ 1 ， 1 ， 0 ) ．
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A M
n1
0，
AN n1 0，
1 2
x
1 2
z
0，
1 2
x
1 2
y
0.
令x＝1，解得y＝1，z＝1，