第十一章 20世纪数学概观(I)

20世纪数学概观(Ⅰ)

纯粹数学的主要趋势

科学知识的增长是非线性的过程．在19世纪变革与积累的基础上，20世纪数学呈现出指数式的飞速发展．现代数学不再仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合，而已成为分支众多的、庞大的知识体系，并且仍在继续急剧地变化发展之中．大体说来，数学核心领域(即核心数学，也称纯粹数学)的扩张，数学的空前广泛的应用，以及计算机与数学的相互影响，形成了现代数学研究活动的三大方面．下面我们将按这三大方面来概括介绍20世纪数学的发展．本章叙说纯粹数学的主要趋势；第12章阐述应用数学的发展和计算机的影响，最后在第13章中选讲一些有代表性的成就来进一步说明20世纪数学的特征． 纯粹数学是19世纪的遗产，在20世纪得到了巨大的发展．20世纪纯粹数学的前沿不断挺进，产生出令人惊异的成就．与19世纪相比，20世纪纯粹数学的发展表现出如下主要的特征或趋势：

①更高的抽象性；

②更强的统一性；

③更深入的基础探讨．

本章对20世纪纯粹数学的论述，将以这三项特征为线索．

11.1 新世纪的序幕

1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演．他的讲演是这样开始的：

“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢?我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标?在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果?”

希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了许多精辟的见解，而整个演说的主体，则是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要领域．一个世纪以来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣．

以下是希尔伯特的数学问题及解决简况：

1．连续统假设．自然数(可数)集基数0S 与实数集(连续统)基数02S

C 之间不存在中间基数．1963年，美国数学家科恩(P.Cohen)证明了：连续统假设的真伪不可能在策梅洛—弗兰克尔公理系统内判别．

2．算术公理的相容性．1931年，哥德尔(K.Godel)证明了希尔伯特关于算术公理相容性的“元数学”纲领不可能实现．相容性问题至今未决．

3．两等底等高四面体体积之相等．1900年德恩(M.Dehn)证明了确实存在着等底等高却不剖分相等，甚至也不拼补相等的四面体．第三问题成为最先获解的希尔伯特问题．

4．直线为两点间的最短距离问题提得过于一般．

5．不要定义群的函数的可微性假设的李群概念．格利森(A.M.Cleason)、蒙哥马利(D.Montgomery)、席平(L.Zippin)等于1952年对此问题给出了肯定解答．

6．物理公理的数学处理．在量子力学、热力学等部门，公理化已取得很大成功．至于概率论公理化已由科尔莫戈罗夫等建立(1933)．

7．某些数的无理性与超越性．1934年，盖尔丰德(A.O.Gel ’fand)和施奈德(T.Schneider)各自独立地解决了问题的后半部分．即对于任意代数数1,0≠α和任意代数无理数β证明了β

α的超越性．

8．素数问题．包括黎曼猜想，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，均未解决．

9．任意数域中最一般的互反律之证明．已由高木贞治(1921)和阿廷(E ．Artin ，1927)解决．

10．丢番图方程可解性判别．1970年，马蒂雅舍维奇证明了，不存在判定任一给定丢番图方程有无整数解的一般算法．

11．系数为任意代数数的二次型．哈塞(H ．Hasse ，1929)和西格尔(C ．L.Siegel ，1936，1951)在此问题上获得重要结果．

12．阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广．尚未解决．

13．不可能用仅有两个变数的函数解一般的七次方程．连续函数情形1957年已由阿诺(B.H.Arnold)解决．

14．证明某类完全函数系的有限性．1958年被永田雅宜否定解决．

15．舒伯特计数演算的严格基础．代数几何的严格基础已由范德瓦尔登

(B.L.Van der Waerden ，1938—1940)和魏依(A.Weil ，1950)建立，但舒伯特演算的合理性尚待解决．

16．代数曲线与曲面的拓扑．有很多重要结果．

17．正定形式的平方表示．已由阿廷于1926年解决．

18．由全等多面体构造空间．部分解决．

19．正则变分问题的解是否一定解析．1904年伯恩斯坦证明了一个变元的解析非线性椭圆型方程其解必定解析．该结果后又被推广到多变元椭圆组．

20．一般边值问题．成果丰富．

21．具有给定单值群的微分方程的存在性．长期以来人们一直认为普莱梅依(J.Plemelj)1908年已对此问题作出肯定解答．但八十年后发现普莱梅依的证明有漏洞．1989年前苏联数学家A ．A ．鲍里布鲁克关于此问题举出了反例，使第二十一问题最终被否定解决．

22．解析关系的单值化．一个变数情形已由寇贝(P.Koebe)解决．

23．变分问题的进一步发展．

我们看到，希尔伯特问题中近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未最后解决，但也取得了重要进展．希尔伯特问题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系列数学分支的发展，有些问题的研究(如第二问题和第十问题)还促进了现代计算机理论的成长．

重要的问题历来是推动科学前进的杠杆，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并如此持久地影响了一门科学的发展，这在科学史上是不多见的．当然任何科学家都会受到当时科学发展的水平及其个人的科学素养、研究兴趣和思想方法等限制．希尔伯特问题未能包括拓扑学、微分几何等在20世纪成为前沿学科的领域中的数学问题，除数学物理外很少涉及应用数学，等等．20世纪数学的发展，远远超出了希尔伯特问题所预示的范围．

11.2 更高的抽象

更高的抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势或特征之一．这种趋势，最初主要是受到了两大因素的推动，即集合论观点的渗透和公理化方法的运用．

(1)集合论观点．19世纪末由G ．康托尔所创立的集合论，最初遭到许多数学家(包括克罗内克、克莱因和庞加莱等)的反对，但到20世纪初，这一新的理论在数学