高数矩阵的概念及运算

100 200
5 15

100

25
300 100
10 20

150

35
400 300
15 35
'
从矩阵 A ＋ B 中可了解该机械公司的职工总数情况：男 性技术人员、生产工人、其他职工分别为150 、 400 、 15 人，而女性职工分别为 35 、 300 、 35 人．
例2.2.6 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B

0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
ຫໍສະໝຸດ Baidu 解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
故
1
C AB 1
(保持转置性)
(5)负矩阵的存在性和矩阵的减法
a11 a12 L

A
=

a21
a22
L
L L L

am1
am1
L
a1n
a2n


L
aij
,
amn

称为矩阵A的负矩阵。
有 A A O, A B A B.
这就是矩阵的减法
12
0.3 0.2 0.8 15 0.312 0.2 15 0.81 7.4(元)
1
这是一行矩阵与一列矩阵的乘法.
引例 2
上例,若还有一个小学生买了8支铅笔; 练习本 10本; 蓝墨水2瓶, 各样物品价格相同. 两人各自共 花去多少钱?
能用矩阵表示计算过程吗?是否更简约?
,
bn
]
a2

M

b1a1

b2a2

L
bnan
an

注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.
例2.2.1 设某公司的职工按男女区分统计如下
总公司
分公司
技术人员 生产工人 其他 技术人员 生产工人 其他
男
50
100
5
100
300
10
女
10
200
15
25
100
20
我们分别用矩阵 A 和 B 来列出总公司和分公司的职 工人数情况，然后汇总统计用矩阵 A ＋ B 表示，即
A

B

50 10
2、矩阵的倍数 (即数与矩阵相乘)
1) 定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11 a12
A

A


a21

a22


am1 am1
a1n
a2n

.
amn
2) 数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
运算.
例如 (即引例)
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
,bn ],
an

计算AB和BA.
解
a1
a1b1
AB

a2

M
[b1
,
b2
,L
,
bn
]

a2b1 M
an

anb1
a1b2 L a2b2 L
MO anb2 L
a1bn
a2bn

M
anbn

a1
BA [b1,b2 ,L
例2.2.4 设

4 2
2 0
5 T 1

4 2 5
2
0

1
2 1 2 3 4 2
AT BT 3
0


1
0 2
0

4 2 1 3 5 1
容易看出,有
A BT = AT BT .
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
例2.2.7 设A, B分别是n1和1n矩阵, 且
a1
A

a2

,
M
B [b1,b2,L
《方程》章的解法为
“置上禾三秉, 中禾二秉,下禾一秉, 实三十九斗于右 方; 中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直 除。又乘其次, 亦以直除……” (直除——减去对应 的各数，到不能再减为止). 按照这种解法，列出下列算式：
用右行上禾秉数3遍乘中行各数，得6, 9, 3, 102 减 去右行对应各数，得3, 7, 2, 63，再减一次，得 0, 5, 1, 24，不能再减了 (消去一个未知数——上禾每 秉的实); 又用3遍乘左行各数,得3, 6, 9, 78 减去右 行对应各数，得0, 4, 8, 39. 如下:
2.2 矩阵及其运算
矩阵也是是线性代数的重要工 具，矩阵理论的应用，最常见 也最重要的就是解线性方程组。
温州大学教育学院 王靖庶
本节知识点和教学要求
知识点
– 矩阵的概念 -矩阵的加减和倍数
– 矩阵的乘法 -初等变换和矩阵的秩
– 逆矩阵
-求解可逆矩阵方程
教学要求
– 熟练掌握矩阵运算的基本法则
1 λ +μ A = λA +μA, λ A + B = λA + λB;
(对加法的分配性)
2 λμ A = λ μA; (结合性)
3 (λA)T = λAT.
(保持转置性)
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算.
2.2.3 矩阵的乘法
引例1
一个小学生买了12支铅笔,每支0.3元; 练习本15本, 每本0.2元; 蓝墨水一瓶,价0.8元.共花去多少钱? 计算过程可表示如下:


0
0
k 1
2 5
0
0


O
k 2 1
即
0





5

2

k


1
转置矩阵AT
a11 a12 A a21 a22

a1n a2n
AT
a11 a12
的系数矩阵和增广矩阵分别是 n元线性方程组的情况见教材127页。
中国古代算书《九章算术》 中的“方程”
刘徽的《九章算术》中《方程》章是这样说的。 “程，课程也。群物总杂, 各列有数，总言其实。 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如 物数程之，并列为行，故谓之方程.”
这段话的意思可以从《方程》 章的第一道题看 出, 题目是 “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾 一秉，实三十九斗; 上禾二秉，中禾三秉，下禾 一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉, 下禾 三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各 几何?” ( 秉——捆)


am1 am2 L amn
元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象; 方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数.
向量:1 × n阶矩阵——行向量,
n × 1阶矩阵——列向量.
• 矩阵的简记法:
– (aij)mn –用行向量表示
–用列向量表示
A1, A2,L An
法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一 书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法 解联立一次方程组。
前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并 以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
3 3 6 2 8 1 6 8 9
2) 矩阵加法的运算规律
1 A + B = B + A; (交换性) 2 A + B +C = A + B +C. (结合性)
3 Α + Ο = Ο + Α = Α.
(零矩阵的单位性)
(4)A + BT = AT + BT.
是一个m n 矩阵 C cij ，其中
s
cij ai b1 1 j ai b2 2 j a bis sj aikbkj k 1 i 1,2, m; j 1,2, ,n,
并把此乘积记作
C AB .
例2.2.5
? C 2 4 2 4 16 32 1 222 3 622 8 16 22
引例3 某商店上半年电视经营情况
某商店上半年电视销售情况(单位:百台)
一分店 二分店
进货价 销售价
51吋 7 1
51吋 3 3.3
47吋 42吋
3
5
2
0
(单位:千元/台) 47吋 42吋
2 1.5
2.2 1.6
简记为
7 3 5 1 2 0
3 3.3

2
2.2
1.5 1.6
一分店 二分店
51吋 10 2
47吋 6 3
42吋 5 1
10 6 5

2
3 1
求全年电视销售情况？ 7 10 3 6 5 5

1
2
2 3 0 1
定义
矩阵——矩形数表
a11
A


a21
M
a12 L a22 L M
a1n
a2n

M
用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示
A 与 B 的和记作A B，规定为
a11 b11
A

B


a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
说明
只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法
接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”， 即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解 一次方程组的加减消元法十分一致.
最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾 之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。 余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法 乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数 而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”
这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
B1

B2

M

Bm

矩阵的相等
矩阵的元素都一一对应相等时，两个矩阵才 相等.
行数和列数不相等的矩阵绝不能相等!
行数和列数相同的矩阵称同型矩阵，即两个 矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。
零矩阵 矩阵O= (aij)mn的mn个元素均为零。
– 熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩
– 熟练运用初等变换求矩阵的逆
– 熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程
2.2.1 矩阵的概念
• 引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台)
51吋 47吋 42吋
简记为
一分店 7
3
5
7 3 5
二分店 1
2
0
1 2 0
某商店下半年电视销售情况(单位:百台)
12 8
0.3 0.2 0.815 10
1 2
0.312 0.215 0.81 0.38 0.210 0.8 2 7.4 6(元)
若另一商店的价格是 0.4 0.3 0.6 用矩阵如何表示?有何优点?
当我们处理大量数据的时候，就需要矩阵了
a21 a22




an1 an2


an1 an2 ann
a1n
a2n

ann

显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1 三元线性方程组
1x1 2x2 3x3 8, 0 55x2 22x3 44, 22x1 0 3x3 2
7 1
3 2
3
5 0
.

2
1.5
3.3 2.2
(数量矩阵×价格矩阵)

1.6
73 3 2 51.5 73.3 3 2.2 51.6
13 2 2 01.5
1 3.3

2

2.2

0
1.6

34.5

7.
一分店 二分店
37.7
7.7

这个结果的意义是什么?
进货金额 销售金额
34.5
37.7
7
7.7
利润 3.2 0.7
(单位： 十万元)
1. 矩阵的乘法
定义
设 A aij 是一个m s 矩阵，B bij 是一个
s n 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积