二次函数与一元二次方程微课设计

二次函数与一元二次方程

教学目标

1、知识与技能:理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交

点个数、掌握方程与函数间的转化。

2、过程与方法:逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x轴

的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。

3、情感、态度与价值观:由实际问题引入，激发学生应用数学的意识，通过师生

交流、生生交流，学生养成了乐于探究、勇于探索的良好学习习惯，同时学生从中也感受了合作成功带来的喜悦.

教学重点难点

重点:探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。

难点:函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。

教与学互动设计

(一)创设情境，引入探究

出示二次函数的图象，如图26-2-1所示，根据图象回答：1、x为何

值时，y=0？

2、你能根据图象，求方程x2-2x-3=0的根吗？

3、函数y=x2-2x-3与方程x2-2x-3=0之间有何关系呢？

（二）合作交流，解读探究

二次函数与一元二次方程之间的关系

[探究]（1）如图26-2-2，以40m/s的速度将小球沿与地面成

30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑

空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之

间具有关系：h=20t-5t2.

考虑以下问题：

（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？

（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？

（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

（4）球从飞出到落地需要多少时间？

学生交流求解方法与结论。数值y为某一确定值m时，对应自变量x的值就是方程ax2+bx+c=m的根。

1、特别是y=0时，对应的自变量x的值就是方程ax2+bx+c=0的根。

以上关系，反过来也成立。

[议一议]利用以上关系，可以解决什么问题？

利用以上关系，可以解决两个方面问题。其一，当y为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。

2、二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系

[议一议]观察图26-2-3中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？

（1）方程x2+x-2=0的根是x

1=-2，x

2

=1.

（2）方程x2-6x+9=0的根是x

1= x

2

=3。

（3）方程x2-x+1=0无实数根。

[归纳]一般地，从二次函数y=ax+bx+c的图象可知：（1）如果抛物线y=与x轴有公共点（x

，0），

那么x

就是方程ax+bx+c=0的一个根。

（2）抛物线与x轴的三种位置关系：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

（三）应用迁移，巩固提高

类型之一：根据二次函数图象看一元二次方程的根

例1：如图26-2-4所示，你能直观看出哪些方

程的根？

解：根据图26-2-4所示的图象知：

方程-x2+2x+3=4的根为x

1= x

2

=1。

方程-x2+2x+3=3的两根为x

1=0，x

2

=2。

方程-x2+2x+3=0的两根为x

1=-1，x

2

=3。

[点评]此题充分展示了二次函数与一元二次

方程的关系，即函数y=-x2+2x+3中，y为某一确定值m（如4，3，0）时，

相应x值是方程-x2+2x+3=m(m=4，3，0)的根。

变式题：已知：抛物线y=ax+bx+c如图26-2-5

所示，则关于x的方程ax+bx+3=0的根的情况是

[归纳]二次函数与一元二次方程有如下关系；1、函数y=ax2+bx+c，（）

A、有两个不相等的正实根

B、有两个异号实根

C、有两个相等的实根

D、没有实数根

[解析]利用二次函数与二次方程之间的关系来判断。

解法一：根据图象知：方程ax+bx+c=3的根是x

1= x

2

=1。∴方程ax+bx+c-3=0的

x 1= x

2

=1。

[点评]此题的解法较多，但以上解法最简单。

解法二：根据图象知3

4

42

=

-

a

b

ac

=0，

又∵方程ax+bx+c-3=0中，△=b2-4a(c-3)= b2-4ac+12a，∴△=0，方程有两个相等的

实数根。

[答案]C

类型之二：根据抛物线与x轴的交点情况求特定系数的范围。

例2：已知二次函数y=2x2-4(4k+1)x+2k2-1的图象与x轴交于两点，求k的取值范围。

[解析] ∵此函数的图象与x轴交于两点。∴方程2x2-4(4k+1)x+2k2-1=0有两个不同的根。

∴△一定大于0，故可求k 的取值范围。

解：根据题意知△>0，即[-（4k+1）]2-4×2×（2k 2-1）>0，解得k>8

9 . [点评]根据交点的个数来确定△的正、负是解题关键，故要熟悉它们之间的对应关系。 类型之三：根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x 轴的交点情况

（四）总结反思，拓展升华

[总结]本节课所学知识：（1）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与二次方程之间的关系。当y 为某一确定值m 时，相应的自变量x 的值就是方程ax 2+bx+c=m 的根。

（2）若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为（x 0，0），则x 0是方程ax 2+bx+c=0的根。

（3）有下列对应关系：

本节课所用的方法：分类讨论与数形结合的思想方法。

[反思]在判断抛物线与x 轴交点情况时，和抛物线中二次项系数a 的正负性有元关系？

[答案]没有关系。它只和△有关。a 只要满足（a ≠0）就行。

[拓展]图26-2-6是二次函数y=x 2+3x-4的图象，根据图象回答：方程x 2+3x-4=0的解是什么？

（1） x 取什么值时，y>0？ （2）x 取什么值时，y<0？

二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的位置关系 一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的情况 △值 有两个公共点 有两个不相等的实数根 △>0 只有一个公共点 有两个相等的实数根 △=0 无公共点 无实数根 △<0