25.3 用频率估计概率

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某瓷砖厂对最近出炉的一大批某型号瓷砖进行质 量抽检，结果如下：
抽取瓷砖数n
合格品数m
合格品率
m n
100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 95 192 287 385 481 577 770 961 1924
(1) 计算上表中合格品率的各频率(精确到0.001)；
试验累计次数
钉帽着地的次数 (频数) 钉帽着地的频率 ( %)
20 40 60 80 100 120 14 160 180 200 0
9 19 36 50 61 68 77 84 95 109
45 47.5 60 62.5 61 56.7 55 52.5 52.8 54.5
试验累计次数
钉帽着地的次数 (频数) 钉帽着地的频率 (%)
频率稳定性定理
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思考 抛掷硬币试验的特点： 1.可能出现的结果数___有__限_____； 2.每种可能结果的可能性___相__等_____.
问题 如果某一随机事件，可能出现的结果是无限个，或 每种可能结果发生的可能性不一致，那么我们无法用列 举法求其概率，这时我们能够用频率来估计概率吗？
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长冲中学活力课堂 八年级数学下教学课件
第二十五章 概率初步
25.3 用频率估计概率
导学
对学
群学
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展学
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学习目标
1.理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律. (重点)
2.结合具体情境掌握如何用频率估计概率.(重点) 3.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系．
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练一练
判断正误
（1）连续掷一枚质地均匀的硬币10次，结果10次全
部是正面，则正面向上的概率是1；
错误
（2）小明掷硬币10000次，则正面向上的频率在0.5
附近；
正确
（3）设一大批灯泡的次品率为0.01，那么从中抽取
1000只灯泡，一定有10只次品．
错误
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例1 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下：
练习罚篮次数 罚中次数 罚中频率
30 27 0.900
60 90 150 200 45 78 118 161 0.750 0.867 0.787 0.805
300 400 500 239 322 401 0.797 0.805 0.802
摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球概率 m 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
n
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 （精确到0.1）； (2)假如你摸一次，估计你摸到白球的概率 P(白球)= 0.6 .
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解：根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘 中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000(千克)，完 好柑橘的实际成本为
210000 = 20 2.22 (元/千克） 9000 9
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有
(x-2.22)×9000=5000，
2
了什么？
0.6
频 率 0.5
0.4
0.3
0.2 0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
试验次数
试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率.
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(4)下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据， 这些数据支持你发现的规律吗？
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归纳总结
通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率 来估计该事件发生的概率.
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数学史实
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由 于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽 不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观 规律.这称为大数法则,亦称大数定律.
讲授新课
一 用频率估计概率
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试验探究
掷硬币试验
(1) 抛掷一枚均匀硬币400次，每隔50次记录“正面朝上” 的次数，并算出“正面朝上”的频率，完成下表：
累计抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400
“正面朝上”的频数 23 46 78 102 123 150 175 200 “正面朝上”的频率 0.46 0.46 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 0.50
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4.填表：
柑橘总质量（n）/千克 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量（m）/千克 5.50 10.5 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
柑橘损坏的频率（
m n
）
0.110
0.105
0.101
0.097
0.097
0.103 0.101
0.098
0.099
0.103
由上表可知：柑橘损坏率是 0.10 ，完好率是 0.90 .
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某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘， 如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在 出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价 为多少元比较合适？ 分析：根据上表估计柑橘损坏的概率为0.1，则柑橘 完好的概率为0.9.
摸球的次数n
100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球概率 m
n
0.65
0.62
0.593 0.604
0.601
0.599 0.601
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摸球的次数n
100 200 300 500 800 1000 3000
试验者
棣莫弗 布丰 费勒 皮尔逊 皮尔逊
抛掷次 数n 2048 4040 10000 12000 24000
“正面向上” “正面向上”
的次数m
的频率(
m n
)
1061
0.5181
2048
0.5069
4979
0.4979
6019
0.5016
12012
0.5005
支持
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导入新课
问题引入
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问题1 抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后，会出现哪些 可能的结果呢？
出现“正面朝上”和“反面朝上”两种情况
问题2 它们的概率是多少呢？ 都是 1
2
问题3 在实际掷硬币时，会出现什 么情况呢？让我们一起来实验操作.
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频繁程度
பைடு நூலகம்
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频率与概率的关系
稳定性 大量重复试验
概率
事件发生的 可能性大小
在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作 为它的估计值.
区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同
样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能 不同，而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试 验无关.
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答：这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律 性.或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重 复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.
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3.在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的 黑、白两种球，其中白球24个，黑球若干.小兵将盒子里 面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放 回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统 计数据：
(2) 观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥400时，合
格品率m
n
稳定在0.96的附近，
所以我们可取P=0.96作为该型号瓷砖的合格率的估计.
(3) 500000×96%=480000(块)，可以估计该型号合格品 数约为480000块.
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• 联系： 频率
事件发生的
(2) 根据上表画出统计图表示“顶帽着地”的频率；
70
(%)
60
56.5
50
40
30
20
10
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
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(3) 这个试验说明了什么问题. 在图钉落地试验中，“顶帽着地”的频率随着试验次数 的增加，稳定在常数56.5%附近.
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试验探究
图钉落地的试验
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从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？
其中顶帽着地的可能性大吗？
做做试验来 解决这个问题.
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(1) 选取20名同学，每位学生依次使图钉从高处落下20 次，并根据试验结果填写下表；
当堂练习
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1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1000尾，一渔民通 过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是 31%和42%，则估计这个水塘里有鲤鱼 310 尾,鲢 鱼 270 尾.
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2.抛掷硬币“正面向上”的概率是0.5.如果连续抛掷 100次，而结果并不一定是出现“正面向上”和“反 面向上”各50次，这是为什么？
(2) 估计这种瓷砖的合格率(精确到0.01)；
(3) 若该厂本月生产该型号瓷砖500000块，试估计合格 品数.
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(1) 逐项计算，填表如下：
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抽取瓷砖数n
合格品数m
m
合格品率 n
100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 95 192 287 385 481 577 770 961 1924 0.950 0.960 0.957 0.963 0.962 0.962 0.963 0.961 0.962
220 240 260 280 300 320 34 360 380 400 0
122 135 143 155 162 177 19 203 215 224 4
55. 56.2 55 55.4 54 55.3 57. 56.4 56.6 56
55
1
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(2)根据上表的数据，在下图中画统计图表示“正面朝上” 的频率.
0.6
频 率 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
试验次数
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(3)在上图中，用红笔画出表示频率为 1 的直线，你发现
例2 瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块 砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次 品或废品，究竟发生哪种结果，在烧制前无法预知， 所以这是一种随机现象.而烧制的结果是“合格品”是 一个随机事件，这个事件的概率称为“合格率”.
由于烧制结果不是等可能的，我们常用“合格品” 的频率作为“合格率”的估计.
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归纳总结
一般地，在大量重复试验中，随机事件A发生的
频率
m n
(这里n是实验总次数，它必须相当大，m是在
n次试验中随机事件A发生的次数）会稳定到某个常
数P.于是，我们用P这个常数表示事件A发生的概率，
即
P(A)=P.
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（1）填表（精确到0.001）； （2）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你 能估计这次他能罚中的概率是多少吗？ 解：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命 中的频率稳定在0.8左右，所以估计他这次能罚中的概率约为0.8.
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解得 x≈2.8.
因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利 润5000元.
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5.某池塘里养了鱼苗10万条，根据这几年的经验知道， 鱼苗成活率为95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞 出40条，称得平均每条鱼重 2.5千克，第二网捞出25条， 称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平 均每条鱼重2.8千克，试估计这池塘中鱼的重量. 解：先计算每条鱼的平均重量是