253用频率估计概率

第 1 页25.3用频率估计概率

◇教学目标◇

【知识与技能】

理解每次试验可能的结果不是有限个或各种可能结果发生的可能性不相等时,利用统计频率的方法估计概率.

【过程与方法】

经历利用频率估计概率的学习,使学生明白在同样条件下,大量重复试验时,根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数,可以估计这个事件发生的概率.

【情感、态度与价值观】

通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习数学的兴趣,体验数学的应用价值.

◇教学重难点◇

【教学重点】

通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.

【教学难点】

理解并应用频率估计概率.

◇教学过程◇

一、情境导入

小明进行投币试验,他连掷三次,结果都是正面朝上,也就是说他的频率是1,那么我们是否可以说他投掷硬币正面朝上的概率是1呢? 二、合作探究

第 2 页探究点利用频率估计概率

典例1将一枚硬币的一面贴上号码1,另一面贴上号码2,掷硬币两次,观察掷出的两个号码的积,下表是对200次实验数据整理的结果.实

次12468101214161820

积是2出现的次数38252737536372788899

积是2出现的频率

(1)用计算器计算频率,并填表.

(2)根据表中的数据绘制频率折线统计图.

(3)当实验次数较少时,频率有什么特征?当实验次数逐渐增加时,频率有什么样的变化趋势? (4)根据频率估计出现“积是2”的概率的大小.

[解析](1)依次填:0.3,0.4,0.63,0.45,0.46,0.53,0.53,0.51,0.49,0.49,0.5.

(2)频率折线统计图如图所示.

(3)当实验次数较少时,频率不稳定,波动较大;当实验次数逐渐增加时,频率波动较小,逐渐稳定在0.5附近.

(4)根据实验频率可以估计出“积是2”的概率为0.5.

用频率估计概率大小的一般步骤:先计算不同试验次数下的频率,再绘制频率折线统计图,通过观察、分析频率的稳定值,最后用稳定的频率值来估计概率的大小.

典例2在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个,某学习小组做摸球实验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据.

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摸到白球的次数5896116295484601

摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.601

(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近.

(2)假如你去摸一次,你摸到白球的概率是,摸到黑球的概率是.

(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个?

(4)解决了上面的问题,小明同学猛然顿悟,过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是:在一个不透明的口袋里装有若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,如何估计

白球的个数(可以借助其他工具及用品

．．．．．．．．．．．．．解决这个问．．．．．．．．．．．)?请你应用统计与概率的思想和方法

题,写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.

[解析]利用摸球次数最多1000次的频率去估计接近值,再用这个值代替概率值.

(1)由表格知,当n≥500时,频率值稳定在0.6左右,由此,当n很大时摸到白球的频率将会接近0.6.

(2)摸到白球的概率是0.6,摸到黑球的概率是1-0.6=0.4.

(3)白球有20×0.6=12(个), 黑球有20×0.4=8(个).

(4)方案一:①添加:向口袋中添加一定数目的黑球,并充分搅匀;

②实验:进行大次数的摸球实验(有放回),记录摸到黑球和白球的次数,分别计算频率,由频率估计概率;

③估算:黑球的个数摸到黑球的概率=球的总个数.

方案二:①标记:从口袋中摸出一定数目的白球做上标记,然后放回口袋并充分搅匀;

②实验:进行大数次的摸球实验(有放回),记录摸到标记球的次数,计算频率,由频率估计概率;

第 4 页③估算:有标记球的个数摸到标记球的概率=白球的个数.

变式训练如图,为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积,画一个边长为2 cm的正方形,使不规则区域落在正方形内,现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域

的频率稳定在常数0.25附近,试估计不规则区域的面积是多少.

[解析]设不规则部分的面积为s,则??4=0.25,解得s=1.

则不规则部分的面积为1 cm2.

三、板书设计

用频率估计概率

1.用频率估计概率

在相同条件下,当大量重复试验时,随机事件A发生的频率????(这里n是总试验次数,m是在n次试验中事件A发生的次数)会稳定在某个常数p附近,于是,我们用p这个常数表示事件A发生的概率,即P(A)=p.

2.方法

用频率估计概率大小的一般步骤:先计算不同试验次数下的频率的大小,再绘制频率折线统计图,通过观察、分析频率的稳定值,最后用稳定的频率值来估计概率的大小.

◇教学反思◇

本节课是主要学习用频率去估计概率,侧重于从统计试验结果的角度来研究概率.通过本节课的学习,学生能从统计试验结果的角度来研究概率,即通过频率研究概率,理解频率与概率的区别与联系,同时对比前一节从理论的角度(即列举法)来计算概率,体会随机观念和概率思想.