第二章 鸽巢原理

第二章 鸽巢原理

我们在本章考虑一个重要而又初等的组合学原理，它能够用来解决各种有趣的问题，常常得出一些令人惊奇的结论。这个原理有许多的名字，但最普通的名字叫鸽巢原理，也叫做鞋盒原理。有关于鸽巢的原理阐释，粗略地说就是如果有许多鸽子飞进不足够多的鸽子巢内，那么至少要有一个鸽巢被两个或多个鸽子占据。更精确的叙述在下面给出。

2.1 鸽巢原理的简单形式

鸽巢原理的简单的形式可以描述如下：

定理2.1.1 如果n+1个物体被放进n 个盒子，那么至少有一个盒子包合两个或更多的物体。

证明：如果这n 个盒子中的每一个都至多含有一个物体，那么物体的总数最多是n 。 既然我们有n ＋1个物体，于是某个盒子就必然包含至少两个物体。 注意，无论是鸽巢原理，还是它的证明，对于找出含有两个或更多物体的盒子都没有任何帮助。它们只是简单地断言，如果人们检查每一个盒子，那么他们会发现有的盒子里面放有多于一个的物体：鸽巢原理只是保证这样的盒子存在。因此，无论何时鸽巢原理被用来证明一个排列或某种现象的存在性，除了考察所有可能性之外，它都不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指示。 我们可以把将物体放入盒子改为用n 种颜色中的一种颜色对每一个物体涂色：此时，鸽巢原理断言，如果n ＋1个物体用n 种颜色涂色，那么必然有两个物体被涂成相同的颜色。

下面是两个简单的应用。

应用1 在13个人中存在两个人，他们的生日在同一个月份里。

应用2 设有n 对已婚夫妇。为保证能够有一对夫妇被选出，至少要从这2n 个人中选出多少人?

为了在这种情形下应用鸽巢原理，考虑n 个盒子，其中一个盒子对应一对夫妇。如果我们选择n ＋1个人并把他们中的每一个人放到他们对偶所在的那个盒子中去，那么就有同一个盒子含有两个人；也就是说，我们已经选择了一对已婚夫妇。选择n 个人使他们当中一对夫妻也不没有的两种方法是选择所有的丈夫或选择所有的妻子。因此，n ＋1是保证能有一对夫妇被选中的最小的人数。 还存在一些与鸽巢原理相关的其他原理，有必要正式叙述如下：

如果将n 个物体放入n 个盒子并且没有一个盒于是空的，那么每个盒子恰好包合一个物体。

如果将n 个物体放入n 个盒子并且没有盒子被放入多于一个的物体，那么每个盒子里有一个物体。

在应用2里，如果我们这样选择n 个人，从每一对夫妻中至少选一人，那么我们就从每对夫妻中恰好选出了一个人。同样，如果我们选择n 个人的方法是从每一对夫妻中至多选一人，那么我们就从每对夫妻中至少(从而也恰好)选出了一个人。

应用3 给定m 个整数m a a a ,,,21 ，存在整数k 和l ，m l k ≤<≤0o ，使得l k k a a a +++++ 21’能够被m 整除。通俗地说，就是在序列m a a a ,,,21 中存在连续i a ，这些i a 的和能被m 整除。

为了深入这个问题，考虑m 个和

m a a a a a a a a a ++++++ 21321211,,,,，

如果这些和当中的任意一个可被m 整除，那么结论就成立。因此，我们可以设这些和中的每一个除以m 都有一个非零余数，余数等于1，2，……，m-1。由于存在m 个和而只有m-1个余数，则必然有两个和数除以m 有相同的余数。因此，存在整数k 和l ，k

应用4 一位国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，但为了不使自己过于疲劳他还决定在每周不能下棋超过12盘。证明存在连续若干天期间这位大师恰好下了2l 盘棋。

令1a 是在第一天所下的盘数，2a 是在第一天和第二天所下的总盘数，

而3a 是在第一天、第二天和第三天所下的总盘数，等等。由于每天至少要下一盘棋，故数值序列7721,,,a a a 是一个严格递增的序列。此外，11≥a ，而且出于每周下棋最多是12盘，故≤77a 12×ll ＝132。因此，我们有 13217721≤<<<≤a a a 。序列21,,21,217721+++a a a 也是一个严格递增序列，

153212*********≤+<<+<+≤a a a ，

于是，7721,,,{a a a ，}153,2,1{}21,,21,217721 ⊆+++a a a ，因此154个数中至少有两个是相等的。而7721,,,a a a 是互不相等的，21,,21,217721+++a a a 也是互不相等的，因此，因此必然存在一个i 和一个j ，使得21+=i j a a 。从而，这位国际象棋大师在第j i ,,1 +天总共下了21盘棋。

应用 5 (中国余式定理)令m 和n 为二互素的正整数，并令a 和b 为两整数，且10-≤≤m a 以及10-≤≤n b 。于是，存在一个正整数x ，使得x 除以m 的余数为a ，并且x 除以n 的余数为b ；即x 可以写成a pm x +=的同时又可写成x b qn +=的形式，这里，p 和q 是两个整数。

为证明这个结论，我们考虑n 个整数a m n a m a m a +-++)1(,,2,, ，这些整数中的每一个除以m 都余a 。设其中的两个除以n 有相同的余数r 。令这两个数为a im +和a jm +，其中10-≤<≤n j i 。因此，存在两整数i q 和j q ，使得

r n q a im i +=+，r n q a jm j +=+。

从第二个方程减去第一个方程，得到n q q m i j i j )()(-=-。上面的方程告诉我们n 是m i j )(-的一个因子、由于m 和n 没有除1之外的公因子，因此n 是i j -的一个因子。然而，10-≤<≤n j i 意味着10-≤-≤n i j ，也就是说n 不可能是是i j -的的因子。该矛盾产生干我们的假设：a m n a m a m a +-++)1(,,2,, ，这些整数中的两个除以n 有相同的余数r 。因此我们断言，

a m n a m a m a +-++)1(,,2,,

这n 个数中的每一个数除以n 都有不同的余数；根据鸽巢原理：n 个数1,,2,1,0-n 中的每一个作为余数都要出现；特别是数b 也是如此。令p 为整数，满足10-≤≤n p ，且使数a pm x +=除以n 余数为b ，则对于某个适当的q ，x b qn +=。因此，a pm x +=且x b qn +=，从而x 具有所要求的性质。

一个有理数b a /最终可以写成十进制循环小数的结论实际上就是鸽巢原理的推论，我们将其证明留作练习。

2.2 鸽巢原理的加强形式

定理2.2.1 如果把121+-+++n q q q n 个物体放进n 个盆子里，那么或者第一个盒子里装有至少1q 个物体，或者第二个盒子里装有至少2q 个物体，…，或者第n 个盒子里装有至少n q 个物体。

证明 若对所有的i (n i ≤≤1)，第i 个盒子至多只有1-i q 个物品，则n 个盒子中至多有=-++-+-)1()1()1(21n q q q n q q q n -+++ 21个物品。矛盾，故 理成立．

在定理2.2.1中令2221====q q q ，则变成了鸽巢原理的简单形式。在定理2.2.1中令r q q q n ==== 21时，则得到如下的推论：

推论2.2.1 若将n(r-1)十1个物品放入n 个盒子中，则至少有一个盒子中有r 个物品。

推论2.2.2 如果n 个非负整数n m m m ,,,21 的算术平均值