2018年上海浦东高中数学二模试卷(学生版)

2018年浦东高三数学 二模测试卷

(满分：150分，完卷时间：120分钟)

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 21lim

1

n n n →+∞+=- 2. 不等式01

x x <-的解集为 3. 已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34a =，48a =-，则5S = 4. 已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=

5. 91

)x

二项展开式中的常数项为 6.

椭圆2cos x y θθ

=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点坐标为 7. 满足约束条件242300

x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数32f x y =+的最大值为 8.

函数2()cos 22

f x x x =+，x ∈R 的单调递增区间为 9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水 面的宽为米

10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0)，则该四面体的体积为

11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，如果对于任意

[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是

12. 已知函数2()57f x x x =-+，若对于任意的正整数n ，在区间5

[1,]n n

+上存在1m +个实数0a 、1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a ，使得012()()()()m f a f a f a f a >++⋅⋅⋅+成立，则m 的最大值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ）

A.

14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ⋅=⋅；（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅，相应的在向量运算中，下列式子：（1）||||||a b a b +≤+ ；（2）||||||a b a b ⋅=⋅ ；（3）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ，正确的个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

15. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

16. 设P 、Q 是R 上的两个非空子集，如果存在一个从P 到Q 的函数()y f x =满足：（1）{()|}Q f x x P =∈；（2）对任意12,x x P ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合构成“P Q →恒等态射”，以下集合可以构成“P Q →恒等态射”的是（ ）

A.R →Z

B. Z →Q

C.[1,2](0,1)→

D. (1,2)→R

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 已知圆锥AO 的底面半径为2

，母线长为C 为圆锥底面圆周上的一点，O 为

圆心，D 是AB 的中点，且2BOC π

∠=.

（1）求圆锥的全面积；

（2）求直线CD 与平面AOB 所成角的大小.

（结果用反三角函数值表示）

18. 在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.

（1）若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b A

b a B C a b A

-=-+-，求角C 的大小； （2）若4sin 5A =，23

C π=

，c =ABC ∆的面积.

19. 已知双曲线22:1C x y -=.

（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；

（2）若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点M 、N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.

20. 已知函数()y f x =定义域为R ，对于任意x ∈R 恒有(2)2()f x f x =-.

（1）若(1)3f =-，求(16)f 的值；

（2）若(1,2]x ∈时，2()22f x x x =-+，求函数()y f x =，(1,8]x ∈的解析式及值域；

（3）若(1,2]x ∈时，3()||2

f x x =--

，求()y f x =在区间(1,2]n ，*n N ∈上的最大值与最小值.

21. 已知数列{}n a 中11a =，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”.

（1）若数列{}n a 为“(1)H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；

（2）若数列{}n a 为“(2)H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}n a ，使得211||40n n n a a a -+-≤对一切2n ≥，*n N ∈恒成立？如果存在，求出这样数列{}n a 的2a 的所

有可能值，如果不存在，请说明理由；

（3）若数列{}n a 为“()H k 数列”，且121k a a a ==⋅⋅⋅==，证明：21

1(1)2n k n k k a -+-≥+

.