二项式定理ppt课件

n b • 有n都取b的情况有C 种， 的系数是Cn
(a+ b)n
n n
n
n 1 n- 1 2 n- 2 2 r n- r r n n = C0 a + C a b + C a b + + C a b + + C n n n n nb
这个公式所表示的定理叫二项式定理 右边多项式叫a b 的二项展开式；
∴ 9-2r=3，r=3，
3 3 3 ∴ 的系数 (1)3 C9 84 , 3的二项式系数 C9 84．
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条
件的项,或者求某种性质的项,如含有x 3项
的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项
式的通项求解.
注意(1)二项式系数与系数的区别.
Biblioteka Baidu意：
1、弄清定理结构特征： 项数：n+1 次数：n，a降b升，和为n r 系数： Cn 2、二项式系数与项的系数不同 二项式系数是组合数，而项的系数是该项的数字因数
3、①通项公式可用求展开式中任意一项，求时必需 明确r=？，一般地，比所说的第几项少1 ②通项是针对(a+b)n的标准形式而言，而(b+a)n，(a-b)n r n r r r n r 的通项则分别为: Tr 1 Cn b a ;Tr 1 Cn a (b)r
2
2 2
尝试二项式定理的发现 :
观察下面两个公式，从右边的项数、每项的 次数、系数进行研究，你会发现什么规律？
(a +b) = a + 2ab + b
3
2
2
2
C 2 a C 2 ab C 2 b
0
2
1
2
2
(a +b) = a 3 + 3 a 2 b + 3a b2 + b3 C a C a b C ab C b
0 3 1 2 2 2 3 3 3 3 3
3
项数比左边次数多1；每项次数均为 左边指数，a,b指数a降b升；系数
C ，C ，C ；C ，C ，C ，C
0 2
1 2
2 2
0 3
1 3
2 3
3 3
猜想：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开后，会是什么样呢？你 能从项数、次数、系数这几个方面谈一谈吗？
x
解:(1) (1 2 x)7 的展开式的第四项是 31 C73 (2 )3 280 3 ，
7 ∴ (1 2 x) 的展开式的第四项的系数是280．
（2）∵
(x
1 9 1 r r 9r r 92r ) 的展开式的通项是 ， C ( ) (1) r C r 1 9 9 x
特点：项数比次数多1；每项次数为左边指数4，a降b升； 系数为 C 0 C1 C 2 C 3 C 4
4
4
4
4
4
按上述规律，我们能将(a+b)n展开吗？ 二项式定理： • (1) a bn 的展开式各项都是n次，即展开式应有下面形式 的各项： a n , a n1b,…,a nr b r,…, b n • (2)展开式各项的系数： a n的系数是Cn0 ； • 每个都不取b的情况有1种，即Cn0 种， 1 1 a n 1b 的系数是 Cn • 恰有1个取b的情况有Cn 种， ，……， • 恰有r个取b的情况有 Cnr 种， a nr b r 的系数是 Cnr ，……，
计算出结果即可
例3：求(x+a)12展开式中倒数第4项 分析：倒数第4项，是第几项？用通项公式时，r=？ 解：展开式共13项，倒数第4项为它的第10项 9 129 9 3 3 9 3 9 T9+1= C12 x a C12 x a 220x a
例4（1）求 (1 2 x)7的展开式的第4项的系数； （2）求 ( x 1 ) 9 的展开式中的系数及二项式系数
4、在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x) C C x C x C x C x
n 0 n 1 n 2 2 n r n r n n
n
尝试二项式定理的应用：
1 4 例 1 展 开 (1 ) x 1 4 1 4 1 1 1 1 2 3 1 3 解: (1 ) 1 C4 ( ) C4 ( ) C4 ( ) ( ) x x x x x
r n r r (2)Tr 1 Cn a b 表示第
r
项.
课堂练习
• 课本P.31 练习
布置作业
P36 习题1.3A组1. 2. 5
小结：
1、二项式定理及结构特征
0 n 1 n1 2 n 2 2 r nr r n n (a b)n Cn a Cn a b Cn a b Cn a b Cn b
0
C
1 4
C 种取法，a3b的系数 C
种取法，a4的系数
4
0
1 4
C42 种取法，a2b2的系数 C42 3 3 3的系数 种取法， ab C4 C4 4 4 ４个都取b， 有 C4 种取法 , b4的系数 C4 0 4 1 3 2 2 2 3 4 4 (a b) 4 C4 a C4 a b C4 a b C4 ab3 C4 b 因此：
二 项 式 定 理
回顾：
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 (a b)(a ab ba b ) 2 2 3 2 a a b aba ab ba 3 2 bab b a b 3 2 2 3 a 3a b 3ab b 1 0 0 4 (a b) ？ (a b) ？
4 6 4 1 1 2 3 4 x x x x
1 6 例2：展开 (2 x ) （先化简，再展开） x
解： (2 x - 1 )6 = ( 2x - 1 )6 = 1 (2x - 1)6 3
x x x 1 0 5 2 4 2 3 3 3 = 3 [C6 (2x)6 + C1 (2x) (-1) + C (2x) (-1) + C (2x) (-1) 6 6 6 x 2 4 5 5 6 6 +C4 (2x) (-1) + C (2x)(-1) + C (-1) ] 6 6 6 =
n
• ⑶它有n+1 项，各项的系数 Cnr 叫二项式系数，
r n r r (4) Cn a b 叫二项展开式的通项，
r nr r C 用Tr+1表示即： Tr+1= n a b
• • (5)二项式定理中，设 a= 1 ,b= ,则
1 2 2 r r n n (1 x)n 1 Cn Cn Cn Cn
2、二项式系数与项系数不同
3、通项公式Tr+1=
r nr r Cn a b
作用：求任一项；求某一项系数 关键：明确r 4、定理特例
0 1 2 2 r r n n (1 x)n Cn Cn x Cn x Cn x Cn x
①展开式中，每一项是怎样得到的？ （4次） ②既然这样，每一项的次数都应为几次？ 展开后具有哪些形式的项呢？ (a4，a3b，a2b2，ab3，b4) ③每一项在展开式中出现多少次，也就是展开式中各项 系数为什么？ 探索：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)在上面4个括号中： 每个都不取b，有 C 4 恰有１个取b，有 恰有２个取b，有 恰有３个取b，有