八年级 数学 期中考试 知识点

八年级数学

第一章勾股定理

知识点

1.勾股定理：a2+b2=c2(a、b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边)

2.勾股定理的证明(把课本给出的证明理解，并灵活运用)

3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，这个三角形

一定是直角三角形。（延伸：如果a2+b2c2，是锐角三角形。其中c为最长边）

4.勾股数：常用的：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25；8、15、17。

5.实际应用（解决两点、航海、折叠、梯子、侧面展开等问题）

例题

1.（折叠问题）如图、折叠长方形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，这痕为

AE，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC长是多少？

（解析：找出折叠的相同等量，然后利用勾股定理求出相关量）

解：由题意知点D、F关于直线AE对称，则AF=AD=10cm，EF=DE=DC-EC=8-EC, 设EC的长为x cm,EF的长为(8-x)cm，在Rt△ABF中，BF2=AF2-AB2=36,故BF=6, 则CF=4，在Rt△CEF中,EF2=CF2+CE2,即x2+42=(8-x)2得x=3，即EC长为3cm。

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是 36/5 。（解析：考查勾股定理及等量代换）

解：A B2=AC2+BC2,得AB=15，根据面积相等有0.5AC·BC=0.5AB·CD, 有9×12=15·CD，得CD= 36/5。

3.已知 a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系(c2-a2-b2)+|a-b|=0, 则△ABC

的形状为等腰直角三角形。

分析：由(c2-a2-b2)+|a-b|=0可得c2-a2-b2=0且a-b=0，所以得到c2=a2+b2且a=b, 因此该三角形是等腰直角三角形。

4.节日庆典需要彩灯装饰人民广场内的圆柱形建筑物，已知它的高为5 m，地面

周长为2 m，从底部用彩灯环绕6周正好到达建筑物的顶端，则彩灯的长度至少是多少米？

解：由题意知AB为所求，已知AC=5 m，BC= 2×6 m，

则A B2=AC2+BC2，得AB=13 m,故至少为13 m。

5.等边△ABC内有一点P，AP=3,BP=4,CP=5,求∠APB的度数。

解析:

将△APC旋转到△ADB的位置，连接PD ，成功将PA、PB、PC集中到△BPD 中，找到“直角三角形”。

如图：将△APC旋转到△ADB的位置，连接PD ，则∠DAP=60°，则△ADP 为

等边三角形,所以BD=PC=5,PD=AP=3,所以BP2+PD2=42+32=25=BD2, 所以∠BPD=90°，所以∠APB=∠APD+∠BPD =60°+90°=150°。

6.如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm

的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15 cm。

解析：将圆柱的侧面展开为长方形，且

B点与A点关于点O对称，则蚂蚁爬过的最短距离为BC，BC2=BD2+AD2,所以BC2=(12-4+4)2+(18÷2)2=152,故最短为15cm。

第二章实数

知识点：

1.

2.⑴相反数：a与-a表示任意一对相反数；

⑵绝对值：|a|,当a>0时，为a；当a=0时，为0；当a<0时，为-a。

⑶倒数：如果a表示一个非零数，那么a与1/a(a≠0)互为倒数。

性质：①若a与b互为相反数，则a+b=0；

②若a与b互为倒数，则ab=1；

③|a|≥0;

④|a|=|-a|;

⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。

3.实数与数轴上的点一一对应。

4.实数大小的比较：⑴在数轴上，右边的点表示的数比左边表示的数大；⑵正

数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

5.实数的运算法则和运算规律：先乘方、开方，再乘除，最后加减，同级从左

到右运算，有括号的先算括号里的。

6.无理数的乘除法法则：⑴√a·√b=√ab(a≥0,b≥0);⑵√a/√b=√a/b(a≥0,b

＞0)。

7.最简无理数：满足：⑴被开方的因数是整数；⑵被开方数中不能含有开得尽

得因数；⑶分母中不含根号。

8.实数中非负数的形式及性质：⑴形式：①|a|≥0;②a2≥0；③√a≥0(a≥0).

⑵性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③若几

个非负数之和为0，则每个非负数都等于0.

例如：√a−1 +|b+2|+(c-3)2=0，则有a=1，b=-2，c=3.

例题：

1.说法正确的是：①有限小数和无限循环小数都是有理数；②分数是有理数；

③无限小数是无理数；④∏/5是分数。正确的有：①②

（注意：有理数都可以用分数来表示，反之，凡是能表示成分数的数一定

是有理数）

2.16的算术平方根的平方根是±2 。

3.若正数m的平方根为x+1和x-3，则m的值为 4 。

4.求64和-64的平方根和立方根-64

解析：64的平方根是±8，-64无平方根；64的立方根是4，-64的立方根是-4。

5.已知x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的立方根。

解析：x-2=(±2)2=4,所以x=6，又2x+y+7=33=27，所以y=8.