第5章多自由度系统的数值计算方法

振动理论与应用
第5章 多自由度系统的数值计算方法
Theory of Vibration with Applications
制作与设计 贾启芬
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第5章多自由度系统的数值计算方法
5.1 瑞利(Rayleigh)能量法 5.2 李兹(Ritz)法 5.3 邓克莱(Dunkerley)法 5.4 矩阵迭代法 5.5 子空间迭代法 5.6 传递矩阵法
，精确到第四位值的比较误差较大。
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5.1 瑞利(Rayleigh)能量法
5.1.2瑞利第二商
如果进一步改进假设振型，即以静变形曲线为假设振型， 设
A 3 5 6T
AT MA 70I ; AT KA 14k ; AT M MA 353 I 2 k
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5.1 瑞利(Rayleigh)能量法
5.1.2瑞利第二商
AT KA RⅠ ( A) AT MA
AT MA
RⅡ ( A) AT M MA
RⅠ(
A)

0.333
k I
RⅡ(
A)

0.214
k I
在上面的计算中，假设振型比较“粗糙”，与该系统的第
一阶固有频p12率 0.198
k I
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5.1 瑞利(Rayleigh)能量法
5.1.1瑞利第一商
设A为振型矢量，对于简谐振动，其最大动能和最大势能为
Mx Kx 0
Tm a x

1 2
p2 AT
MA
Vm a x

1 2
AT
KA
对于保守系统，由能量守恒，则有 Tmax Vmax
p2

AT KA AT MA
若A是系统的第i阶主振型A(i)，则得相应的主频率的平方 pi2
若A是任意的n维矢量，则可得
RⅠ ( A)

AT KA AT MA
称为瑞利商为了区别用位移方程求得的值，又称之为瑞利第一商。
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第5章多自由度系统的数值计算方法
5.1 瑞利(Rayleigh)能量法
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5.1 瑞利(Rayleigh)能量法
5.1.1瑞利第一商 5.1.2瑞利第二商
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5.1 瑞利(Rayleigh)能量法
5.1.1瑞利第一商
现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即
n
A C1 AN1 C2 AN2 Cn ANn Ci ANi AN C
i 1
C C1 C2 Cn T
是组合系数的列矩阵，且为非全为零的常数
Ci可用振型的正交条件求出。即
A C1AN1 C2 AN2 Cn ANn
前乘
( ANi)T M
Ci

( ANi )T MA ( ANi ) T MANi
( ANi )T MA
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5.1 瑞利(Rayleigh)能量法
5.1.1瑞利第一商
n
A C1 AN1 C2 AN2 Cn ANn Ci ANi AN C
i 1
AT KA RⅠ ( A) AT MA
RⅠ( A)

CT CT
ANT KAN C ANT MAN C
代入

CT P 2C CT IC
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5.1 瑞利(Rayleigh)能量法
5.1.2瑞利第二商
如果采用位移方程描述系统的运动微分方程，即
x Asin pt
M x x 0
A p2 MA
前乘以 AT M
AT MA p2 AT M MA
k
பைடு நூலகம்
k
RⅠ ( A) 0.200 I ; RⅡ ( A) 0.1983 I
显然，在工程上，若以静变形曲线作为假设振型，可以得 到很好的第一阶固有频率的近似值。
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5.1 瑞利(Rayleigh)能量法
5.1.2瑞利第二商
由于
pi p1
＞1
(i 2,3,, n)
用瑞利法求出的基频近似值大于实际的基频p1 。这是由 于假设振型偏离了第一阶振型，相当于给系统增加了约
束，因而增加了刚度，使求得的结果高于真实的值。
按照振型叠加的原理，系统的任何可能位移，包括假设 振型，都可以描述为各阶主振型的线性组合。现取假设振 型A是正则振型矢量的线性组合，即
n
A C1 AN1 C2 AN2 Cn ANn Ci ANi AN C
i 1
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0 1 1
逆矩阵
1 1 1


1 k
1
2
2
1 2 3
求第一阶固有频率的估值，取假设振型
计算得
A 1 1 1T
AT MA 3I；AT KA k；AT M MA 14 I 2
k
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Cn C1
1

C2 C1
2


C3 C1
2


Cn C1
2
2
pn p1
2


p12
1


C2 C1
2
p22 p12

1




Cn C1
2
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5.1 瑞利(Rayleigh)能量法
5.1.2瑞利第二商
例5-1 用瑞利法求图示三自由度扭转系统的第一阶固有频率的估 值。已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。
解：系统的质量矩阵和刚度矩 阵为
I 0 0 Μ 0 I 0
0 0 I
2 1 0 K k 1 2 1
n
Ci2 pi2

i 1 n
Ci2
i 1
Ci

( ANi )T MA ( ANi ) T MANi
( ANi )T MA

p12
1




C2 C1
2
p2 p1
2


C3 C1
2
p3 p1
2
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5.1 瑞利(Rayleigh)能量法
5.1.1瑞利第一商
瑞利第一商值是否为系统某一主频率的平方，则决定于 所取矢量A。如果A与某一主振型矢量接近，则所得瑞利 商是相应的固有频率的近似值。实际上，对高阶振型很难 做出合理的假设，而对于第一阶主振型则比较容易估计， 所以此方法常用于求基频，现推证如下。
pn2 p12
1
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5.1 瑞利(Rayleigh)能量法
5.1.2瑞利第二商
由于假设振型A接近于第一阶主振型，所以有，
C2 , C3 ,, Cn
C1 C1
C1
＜＜1
RⅠ ( A) p12
瑞利商的平方根是基频p1的近似值。假设振型越接近于真实 的第一阶振型，则结果越准确。通常，以系统的静变形作 为假设振型，可以得到较满意的结果。
p2

AT MA
AT M MA
同理，若A是任意的n矢量，则有
RⅡ ( A)

AT MA
AT M MA
称为瑞利第二商
若假设振型接近于第一阶主振型时，则RⅡ ( A) 是基频 p12 的近似值 给出同样假设振型的同一振动系统，用瑞利第二商计算
的结果，要比用瑞利第一商计算的结果更精确一些。
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