【创新设计】2015-2016学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课件总结

D.±2i
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3.下列命题正确的是( ) A.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数 B.若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i C.若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1 D.两个虚数不能比较大小
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解析 对于复数a＋bi(a，b∈R)， 当a＝0且b≠0时为纯虚数. 在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误； 在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误； 在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确. 答案 D
规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要 依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式 求参数.
跟踪演练2 实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2 ＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零. 解 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－ 5k－6)i. (1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1. (2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
2.复数的分类及包含关系
实数b＝0
(1)复数(a＋bi，a，b∈R) 虚数b≠0纯虚数a＝0
非纯虚数a≠0
(2)集合表示：
3.复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d .
要点一 复数的概念 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数， 虚数，还是纯虚数. ①2＋3i；②－3＋21i；③ 2＋i；④π；⑤－ 3i；⑥0.
解 ①的实部为 2，虚部为 3，是虚数；②的实部为－3， 虚部为12，是虚数；③的实部为 2，虚部为 1，是虚数；④ 的实部为 π，虚部为 0，是实数；⑤的实部为 0，虚部为－ 3， 是纯虚数；⑥的实部为 0，虚部为 0，是实数.
规律方法 复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实 部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数， b连同它的符号叫做复数的虚部.
[预习导引] 1.复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做 虚数单位 .a叫做复数的 实部 ，b叫做复数的 虚部 . (2)复数的表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi . (3)复数集定义： 全体复数 所构成的集合叫做复数集.通常用大 写字母C表示.
k2－3k－4＝0， (3)当k2－5k－6≠0 时，z 是纯虚数，解得 k＝4.
k2－3k－4＝0， (4)当k2－5k－6＝0 时，z＝0，解得 k＝－1.
要点三 两个复数相等 例3 (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值. 解 ∵x2－y2＋2xyi＝2i，
x2－y2＝0，
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i
＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得
m2－2m＝－1，
m2＋m－2＝0，
解得 m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i 得
m2－2m＝0，
解得 m＝2.
m2＋m－2＝4，
综上可知m＝1或m＝2.
解得 a＝11 或 a＝－751.
规律方法 两个复数相等，首先要分清两复数的实 部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得 到两个方程，从而可以确定两个独立参数.
跟踪演练3 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝
{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值.
解 ∵M∪P＝P，∴M⊆P，
A.3个
B.4个
C.5个
ห้องสมุดไป่ตู้
D.6个
解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误. 答案 B
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课堂小结 1.对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复 数z的不同情况. 2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用 两个复数相等的条件进行判断.
跟踪演练1 已知下列命题： ①复数a＋bi不是实数； ②当z∈C时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数； ⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d. 其中真命题的个数是________.
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[知识链接] 为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充 到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决， 如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解， 那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方 程x2＝－1有解，同时得到一些新数.
解析 根据复数的有关概念判断命题的真假.①是假命题，因为
当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数.②是假命题，如当z＝i时，则z2
x2－4＝0，
＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得
，
x2＋3x＋2≠0
解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实数.④是假命题，因为没
有强调a，b∈R.⑤是假命题，只有当a、b、c、d∈R时，结论才
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4.在下列几个命题中，正确命题的个数为( ) ①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－ai(a∈R)是一个复数； ④虚数的平方不小于0； ⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦ 2 i是一个无理数.
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1.已知复数 z＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则
实数 a，b 的值分别是( C )
A. 2，1
B. 2，5
C.± 2，5
D.± 2，1
a2＝2
解析 令
，得 a＝± 2，b＝5.
－2＋b＝3
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2.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( C )
A.±1
B.±i
C.± 2 i
成立.
答案 0
要点二 复数的分类
m2－m－6
例 2 求当实数 m 为何值时，z＝
＋(m2＋5m＋6)i
m＋3
分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
m2－m－6
解 由已知得复数 z 的实部为
，虚部为 m2＋5m＋6.
m＋3
(1)复数 z 是实数的充要条件是
m2＋5m＋6＝0， m＝－2或m＝－3，
第三章——
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
[学习目标]
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
x＝1， x＝－1，
∴
解得
或
2xy＝2，
y＝1， y＝－1.
(2)关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 a 的值. 解 设方程的实数根为 x＝m，则原方程可变为 3m2－2am－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
⇔
m＋3≠0
m≠－3
⇔m＝－2. ∴当m＝－2时复数z是实数.
(2)复数 z 是虚数的充要条件是
m2＋5m＋6≠0，
⇔m≠－3 且 m≠－2.
m＋3≠0
∴当m≠－3且m≠－2时复数z是虚数.
(3)复数 z 是纯虚数的充要条件是
m2－m－6
m＋3
＝0，
m2＋5m＋6≠0
⇔m＝3.
∴当m＝3时，复数z是纯虚数.