韦达定理

出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？
题 学 生 初 步 了 解 本 课 激发学生好奇
二、探究新知
所要研究的问题
心，求知欲
1.课本思考
分析：将（x- x1）（x-x2）=0 化为一般形式 x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0 与 x2+px+ q=0 学生通过去括号、合 通过思考问题，
对比,易知 p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是 1 的一元二次方程如果 并得到一般形式的一 让学生知道二次
学生独立解决，并交流
加深对韦达定理
的理解，培养学
生的应用意识和
能力
,c=
. 先观察，尝试选用合适
○2 已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1，则另一个根是
,k 的值 方法解题，之后交流，
是.
比较解法
○3 若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根互为相反数，则 p= ; 若
后面继续研究做
3. 方程 2x2-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？
巩固上诉知识
铺垫
分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所不同，求出方程两 教师出示探究问题，学
根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新 生通过特殊例子入手， 让学生通过探
的结论是什么？
两个根互为倒数，则 q= .
分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个
字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个
字母系数.二次项系数是 1 时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用 学生尝试归纳，师生总 通过学生亲自解
根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.
有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.
元二次方程，教师适 项系数为 1 的一
2.跟踪练习
时点拨，分析总结得 元二次方程的根
求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积.
到结论.
与系数关系，为
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0
学生独自完成
选做：补充作业：已知一元二次方程 x2+3x+1=0 的两个根是 、 ，求
通过归纳，进一 学生归纳，总结阐.
加强教学反思， 帮助学生养成 系统整理知识 的学习习惯，加 深认识，深化提 高，形成学生自 己的知识体系.
的值.
定性
程的两个根 x1 、x2 和系数 a，b，c 的关系，即韦达定理，也就是任何一个
一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系
数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在 一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个
一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 5.跟踪练习 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. ○1 3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0； ○2 5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x 6.拓展练习 ○1 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根是-1，3，则 b=
2 ；○5 x2 x1
x1 x2
本节课应掌握： 1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系 2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为 0，△≥0； 3.韦达定理的应用常见题型： ○1 不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根； ○2 已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； ○3 由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值； ○4 判断两个根的符号；○5 不解方程求含有方程的两根的式子的值. 五、作业设 计 必做：P43：7
1.完成课本练习
2.补充练习：
学生独立完成，教师 巡回检查，师生集体 订正
进一步加强对 所学知识的理 解和掌握
x1 ，x2 是方程 3x2-2x-4=0 的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：
○1
1 x1
1 x2
； ○2 x2 x12
x1 x2 2
○3 x12 x22 ；
四、小结归纳
○4
x1 x2
○6 .若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m 时方程有两个正根；当 m 时方程有两个负根；当 m 时方程有一个正根一个负根，且正根 的绝对值较大. 分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数 的符号，○6 中还需考虑 m 的值还得受根的判别式的限制. 三、课堂训练
再 通 过 一 般形 式 推 导 究问题，体会从
4.一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的 a 的两根的和、积与系数之间有第 3 题中的关系吗？
不一定是
1，它
证明，教师引导学生根 据求根公式进行探究、 交流，尝试发现结论
特殊到一般的 认知过程，体会 数学结论的确
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方
课 型 新授
标
情 感 培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的
态 度 精神.
教学重点
一元二次方程的根与系数关系
教学难点
对根与系数关系的理解和推导
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在 16 世纪法国的杰 教师出示问题，引出课 创设问题情境，
结
题的感受与经
○4 两个根均为负数的一元二次方程是( )
验，感受数学的
A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0 ○5 .两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）
严谨性和数学结 论的确定性.
A.4x2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x2+ 3 5 x- 6 =0
教学时间 教学媒体
教
知识
技能
学
过程
目
方法
课题
22.2.4 一元二次方程的根与系数关系
多媒体
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系. 2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.