交变电流有效值的计算

交变电流有效值的计算

陈 祥

（湖南省望城县第六中学 410204）

作为高考非主干知识中常考的II 级知识点，交变电流有效值的计算并不难，有关题目变化也小，题目在大多数考生能力范围之内．只要肯下功夫，复习到位，记忆准确，应该是可以稳拿分数的．但常见的复习资料和相关文章总是通过举例说明的方法进行复习，笔者认为这种复习方法不易使学生理解其本质，故本文中笔者尝试从另一角度寻找更为有效的方法．

常见中学阶段可计算有效值的交变电流可以分为三类： 类型I 基本型

基本型包括两种：一是恒定电流（特殊的交变电流）；二是正弦式电流．对于基本型，学生应该重点理解并掌握好利用焦耳定律计算

焦耳热，以及正弦式电流的有效值公式

2,2,2m

m m E E U U I I =

==

类型II 组合型

如图1～图4所示，这种类型交变电流是由两种基本类型的电流通过组合而成．求解此类交变电流的有效值时应该采用分段法处理．

图1

图2

例题1 如图4所示的是一交变电流随时间变化的图象．求其有效值？

解析：此交变电流由峰值为A I m 161=的正弦式电流的前半周期和峰值为A I m 122=的正弦式电流的后半周期组合而成，故可以分为两段处理，求此交变电流在一个周期（T=2s ）内的焦耳热． 让此交变电流和直流分别通过同一阻值为R 的电阻．在一个周期（T=2s ）内此交变电流产生的热量为

22222

22121T R

I T R I Q Q Q m m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+='

在一个周期（T=2s ）内直流产生的热量为

RT I Q 2=

根据交变电流有效值的定义，可得

RT I T R I T R I m m 22

22

12222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛

解得此交变电流的有效值A I I I m

m 1022221=+=

类型III 叠加型

图3

图4

例题2 求交变电流b t a i +=ωsin （a>b ）的有效值？

通常，不少人会这样处理：正如例题1一样，交变电流b t a i +=ωsin 可以看成两个正弦式电流的一半组合而成，其中一个的最大值为（a+b ），另一个的最大值为b a -，根据交变电流有效值的定义，因而有此交变电流的有效值I 为

RT I RT b a T R b a T R b a Q 2222

2

22222=+=

⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

其中

T π

ω2=

∴22

2b a I +=

事实上，上述求解过程中存在着一个主要问题：最大值为（a+b ）和最大值为b a -的交变电流所对应的时间都不是各自正弦式电流的半个周期．

解析：交变电流i 可以等效为恒定电流b i =1和正弦式电流

t a i ωsin 2=叠加而成，根据交变电流有效值的定义，有

RT I RT b RT a Q 222

2=+⎪⎭

⎫

⎝⎛=

∴⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=222b a I 或者，利用高等数学可求得交变电流在一个周期内通过电阻R 产生的热量为

()()⎰⎰⎰++=+==T

T

T

Rdt b t ab t a Rdt b t a Rdt i Q 0

2222

2sin 2sin sin ωωω

⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T

T T

RT b a dt Rb tdt abR dt Ra t 000

22222sin 222cos 1ωω

其中

T πω2=

根据交变电流有效值的定义，有 RT I Q 2=

∴⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=222b a I 象例题2所示的交变电流一样，由基本类型的电流通过加减而成的交变电流可以称之为叠加型交变电流．该类型交变电流有效值的求解应该利用傅立叶分析的思想将其分解为恒定电流和正弦式电流处理．

总之，求解交变电流的有效值时，在掌握好正弦式电流的基础上，抓住交变电流的特点确定其类型，牢记交变电流有效值的定义（让交变电流和一恒定电流同时通过一个相同电阻，如果在相同时间内电阻产生的热量相同，则此恒定电流的电流值即为该交变电流的有效值），研究交变电流一个周期内电阻产生的热量即可．

参考文献

[1]黄修誌．电工学．成都科技大学出版社．1989．

[2]阳水连．非正弦交变电流有效值的计算．中学物理教学参考（2008.5）