寿险精算 第五讲 均衡纯保费

解：
P
A 25:30
M 25 M55 D55
0.85
25:30 a&& 25:30
N25 N55
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
常见险种的完全离散净均衡保费总结
险种 终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
Dxh )
Dx
()(Nx Nxh ) ()(Dx Dxh )
(3.3.11)
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
§3.4 半连续式寿险模型的年缴纯保费
• 3.4.1 终身寿险的年缴纯保费 • 条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从
保单生效起按年交付保费。（给付连续，缴费不连续）
A1 x：n
a&&x：n
P( Ax：n ) Ax：n a&&x：n
h P( Ax ) Ax a&&x：h
h P( Ax：n ) Ax：n a&&x：h
P(A 1 ) A 1
x:n
x:n
a&&x：n
P(m
ax )
A1 x:m
axm
a x:m
Dxm N xm
(Nx Nxm)
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
• 厘定过程：
(1)
L
l(T
)
vt
P(
Ax
)a&& k 1
(2)E(L) 0 Ax P( Ax )a&&x 0
P( Ax )
Ax M x ， a&&x Nx
(3)Var(L)
(1
P
)2[
2 Ax
(
Ax
)2 ]
• 在UDD 假设条件下:
Ax
i
Ax
P( Ax )
i
Ax a&&x
i
Px
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0
Ax
vt
0
t
pxxt dt
0.04 exp(0.04t) exp(0.06t)dt 0.4
0
2
Ax
0
v2t
t
pxxt dt
0.04 exp(0.04t) exp(2 0.06t)dt 0.25
0
故
P( Ax ) Ax 0.4 0.04 ax 10
Var(L)
2 Ax (Ax )2 (1 Ax )2
(3.3.9)
P(A ) i
M x M xn
x:n ()(Nx Nxn ) ()(Dx Dxn )
Dx
()(Nx Nxn ) ()(Dx Dxn )
(3.3.10)
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
h
P
(
A x:n
)
i
()(Nx
M x M xn
Nxh ) ()(Dx
(3.3.8)
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死亡均匀分布条件下年缴纯保费的计算公式
• 其中， () id / ，2 () ( i) /。 2
h
P(
Ax
)
Ax a
x:h
• 在式3.3.8 中，令 h ，则得
P( Ax )
i
Mx
()Nx ()Dx
• 类似地，在死亡均匀分布条件下有
0.4809
• 因 Pr(K 42) 1 42 p35 0.5且L(1 )是k的减函数，取
• h=42,则
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例 3.2.4解
解：
Pr[L(1) 0] 0.5
Pr[10000v43 1a&&43 ] 0.5
1
10000v43
a&&
10000v43(1 v) / (1 v43)
Px：1nP( mAaxx：1)n aAxx：:1mn
axDmx
( a
n x:m
N
x
Nxn )
P(m
ax )
A1 x:m
axm
a x:m
Dxm N xm
(Nx Nxm)
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§3.3 全连续式寿险模型的年缴纯保费
• 条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从 保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续）
•
• 2．其他寿险模式的年缴纯保费公式
• 利用平衡原理，可以得到：
P( A1
A1 ) x:n P( A
A ) x:n
x:n a&&
x:n a&&
x:n
x:n
h P( Ax
)
Ax a&&
h
P(
A x:n
)
A x:n
E(L) E(btvt ) PE(Y ) 0
P E(btvt ) E(Y )
• 按照以上步骤,可导出全连续保险模型一此常见的年缴纯保费公 式
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常见险种的完全连续净均衡保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
i=6% ,试求: Px 和 Var(L) .
解:
Ax vk1 k| qx 0.4 k 0
c 0.04 0.96
a&&x
1
Ax d
故:
Px
Ax a&&x
0.037736
2 Ax v2(k1) k| qx 0.2445 k 0
Var(L)
2 Ax ( Ax )2 (da&&x )2
0.2347
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• （2）限期缴清终身寿险
• ①定义：指在规定的年限内，按年缴费直至被保险人死亡， 或者缴清期限届满时停止。
• ②年缴纯保费 h Px：保 险人的损失及年缴纯保费分别为
L
v K 1
v
K
1
h h
Px
a&& K 1
Px
a&& h
(K 0，1，2，…,h 1) (K h)
Ax
Pxa&&x 0
Px
Ax a&&x
Mx Nx
dAx 1 Ax
1 da&&x a&&x
(3)Var(L)
(1
Px d
)2
[
2
Ax
( Ax )2 ]
2 Ax ( Ax )2 (da&&x )2
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
例子
例 3.2.1 设 k|qx c(0.96)k1, k 0,1, 2,.L 其中
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费 第三章 均衡纯保费
§3.1 均衡纯保费计算的平衡原理 3.1.1 人寿保险模型的种类
完全离散净均衡保费
死亡年末给付
离散缴费 半连续净均衡保费
死亡即刻给付
人寿保险以生存年金给付的方式 分期缴付的均衡纯保费。
离散缴费
完全连续净均衡保费
死亡即刻给付
连续缴费
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费 3.1.1 纯保险的计算原理
x:n
• 例3.2.5 设年龄为25岁的人，购买15年定期寿险，保险金为1000元， 试求其自然纯保费与年缴纯保费(即均衡纯保费)。
•解
1000P1 M 25 M 40 0.85
25:15
N25 N40
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3.2.3 定期寿险
• x岁的人,签发保险金额为１个单位的n年储蓄（两全） 寿险，年缴纯保费(均衡纯保险)为 P ，则其损失为：
3.3.3 在死亡均匀分布条件下年缴纯保费的计算公式
• h年缴费终身人寿保险下年缴纯保费
h
P(
Ax
)
Ax a
x:h
• 在死亡均匀分布条件下
Ax
i
Ax
ax:h
()a&& x:h
()(1 h Ex )
• 从而有
h P( Ax )
i
()a&& x:h
Ax
()(1
h Ex )
i
Mx
()(Nx Nxh ) ()(Dx Dxh )
3.2.2 定期寿险
• x岁的人,签发n年定期寿险，保险金额为１个单位的年缴纯保费(均衡
纯保险)为 P 1 ，则 x:n
•或
L
0v K1Px1:nPa&&x1n:n
a&& K 1
(K 0，1，2，…，n 1) (K n)
P1 M x M xn
x:n
Nx Nxn
P1
A1 x:n
x:n a&&
• 厘定过程：
(1)
L
l(T )
vT
P
(
Ax
)a T
(2)E(L) 0 Ax P( Ax )ax
0
P( Ax )
Ax ax
M x Ax
Nx 1 Ax
1 ax
ax
(3)Var(L)
Var[vT
(1
P
)
P
]
(1
P
)2[
2 Ax
(
Ax
)2
]
(
ax
ax
Ax
)2
[
2
Ax
( Ax )2 ]
0.25 0.42 (1 0.4)2
0.25
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3.3.2 其他寿险模型的年缴纯保费公式
•
全连续保险模型的一般情形.假设其年缴纯保费为 失L可表示为:
P
,则保险损
L btvt PY Z PY • 其中, bt 与 vt 分别是给付函数与现值函数;
• 利用平衡原理得
•
h Px
Ax a&&
x:h
Mx Nx Nxh
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例 3.2.4解答
• 例 3.2.4 解: (3)
Pr[L(1)
0]
Pr[10000vK
1
1a&&K 1
]
Pr[10000vK 1
1
1 vK 1 1 v
保费公式
P( Ax ) Ax ax
P
(
A1 x：n
)
A1 x：n
ax：n
P( Ax：n ) Ax：n ax：n
h P( Ax ) Ax ax：h
h P( Ax：n ) Ax：n ax：h
P(A 1) A 1
x:n
x:n
ax：n
P( m
ax )
A1 x:m
axm
a x:m
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• 纯保费厘定原则——平衡原则： – 保险人的潜在亏损均值为零。 L=给付金现值-纯保费现值 E（L）=0 E（给付金现值）=E（已交纯保费现值）
• 净均衡保费与趸缴纯保费的关系 E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值）
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§3.2 全离散式寿险模型的年缴纯保费
• 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险，被保险人从保 单生效起按年期初缴费。（给付离散，缴费也离散）
保费公式
Px Ax ax M x Nx
P1 x：n
A1 x：n
ax：n (M x M xn ) (Nx Nxn )
Px：n Ax：n ax：n (M x M xn Dxn ) (Nx Nxn )
h Px Ax ax：h M x (Nx Nxh )
h Px：n Ax：n ax：h (M x M xn Dxn ) (Nx Nxh )
3.4.2 其他寿险模式的年缴纯保费公式
• 类似地可推出其他寿险模式的年缴纯保费公式。常见险种的半 连续净均衡保费总结
险种
保费公式
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
P( Ax ) Ax a&&x
P(
A1 x：n
)
]
Pr[(1 v)10000vK1 1 1vK1] Pr[((1 v)10000 1)vK1 1]
Pr[vK 1
1
] Pr[(K 1) ln v ln(
1
)]
(1 v)10000 1)
(1 v)10000 1)
Pr[K 1 ln(
1
) / ln v] Pr[K ln(
2 Ax ( Ax )2
( ax )2
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例子Baidu Nhomakorabea
例3.3.2 假设死力 0.04 是常值,利力 0.06 .试计算年缴
纯保费 P(Ax ) 与保险损失L 的方差Var(L).
解:
ax
0
vt
t
pxdt
exp(0.04t) exp(0.06t)dt 10
50.12
K 1
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E
L
E
v
K
1
1
Px d
Px d
Ax
1
Px d
Px d
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（3）趸缴纯保费终身寿险 趸缴纯保费终身寿险，是在签单时一次将保费缴清的终
身寿险，为限期缴清的特殊情形
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
x:n
L
vK vn
1
P a&& x:n K 1
P a&& x:n n
(K=0,1,2,L ,n-1) (K n)
A P x:n x:n a&&
x:n
P M x M xn Dxn
x:n
Nx Nxn
例3.2.5 设20岁限期缴费的30年储蓄寿险，于25岁时，签发， 保险金额为1000元，试求其年缴纯保费。
1
) / ln v 1]
•
(1 v)10000 1)
(1 v)10000 1)
• 即 Pr[K h] 0.5 这里
h ln b 1 , b=
1
•
ln v
(1 v)10000 1
• 示例生命表
年龄
35
…
77
78
lx
94206.55 … 45281.81 45303.60
lxk / lx
…
0.5125
• 3.2.1 终身寿险
• 系按年终身缴费,死亡受益金在被保险人死亡的年度末支付.
• 厘定过程：
•
对于(x) 岁的人,保险金额为1,年缴纯保费为 Px
(1) L
vK
1
Px
a&& K 1
,K 0,1,2,L
• 即如果在k时死亡,需给付1单位赔费，现值为：vK 1
•
已缴保费现值为：
Px
a&& K 1
(2)E(L) 0