形象思维在数学学习中的应用
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一来自百度文库
云
、
运 用 几 何 意 义 探 究 数量 关 系
例 １ 已知 “ ， ｂ 满足 ４ ａ 。 一８ 一ｂ ， 试求 ￣ ／ ｄ 。 ＋（ ｂ －３ ） ＋
、
二 。 的最 小 值 ． 分析 ： 本 题若 用代 数 方 法 运 算 很 烦 琐 ， 但 通 过 数 形 结 合 建
理， 两点 之 间 线段 最 短 时 ， 学 习者 可 以想 象 ： 如果 我 将 一 个 肉包
子扔 给 一个 小 狗 ， 它一 定会沿直线跑 向包子 ， 因 为 这 样 可 以最
快 的吃 到包 子 ， 这 样 线 段 公 理 就 比较 容 易 理 解 了． 形 象 思 维 有 利于 加 强对 知 识 的 记 忆 ． 比 如 记 忆 一３ ． １ ４ １ ５ ９ … 时， 通 常 利 用 形象 思 维把 它 译 为“ 山巅 一 寺 一 壶酒 ” ． 中学 数 学 中的 形 象 思 维 与 小 学 阶段 相 比 ， 已不 是 初 级 形
—— —
显然 ＞ Ｏ， “ ｚ 二 。 ８ ／ ， ５
，
证明 ： 注意到欲 证不 等式 左 、 右 皆正 ， 故 构造 数列 ｛ “ ） ，
￣ ／ （ ２ —０ ） 。 ＋（ １ —３ ） 。 一２ ／ ２ ．
二、 方 程 函数 与 图像 的 结合
亘
２
函数 图像 是 函 数 对 应 规 律 的 几 何 表 示 ， 能 直 观 地 反 映 出
中掌鸯数理亿 ． 为此 ， 考虑 ” ≥掌研版 ２时 ，
函 数 的性 质 ， 利用函数图像 解题 ， 具有 直观清 楚 的优点 。 尤 其
的点 Ｐ到 Ａ ， Ｂ距 离 之 和 最 小 ， 须 且 只 须 Ｐ 取 Ｐ 或 Ｐ２ ． 从 而
图 １
意 ” ≥２时 ， ” ∈Ｎ， 都 有 ‰＞ １ ， 则原命题得证．
√ 干
形 象 思维 在 数 学学 习 中的 应 用 （ ＋ ÷ ） （ ＋ 了 １ ） … ＋、 ／ ， 二虿 二 的最 小 值 为 Ｉ Ａ Ｂ Ｉ 一 并令
想， 得不 到 答 案． 此时， 给 出一 个 提 示 “ 小板凳” ， 他就大有悟 ， 答
案就 是 ． 形象 思 维 有利 于加 深对 知 识 的 理解 ． 比如 初 学 线段 公
ｇ（ ９ ３ ）的 解 的 个 数 可 用 Ｃ ： ｙ— ｆ（ ． １ ７ ） 与 Ｃ ｚ ： ｙ— ｇ（ ） 的 交 点 个 数 来判断． 前 者属 于 代 数 范 畴 ， 而 后 者 属于几何范畴． 在解 决交点 个数时 ， 对特殊情况的值 （ 临界值 ） 又 需 经 过 计 算 ． 由 于 方 程 可 变 形 ，如 将 ／ ’ （ ） 一 ｇ （ Ｊ Ｚ ＂ ）变 为 ｆ－ （ ）一 ｇ 。 （ ） ， 不 同 的 代 数 形 式 可 导 致 不 同的形式结构 ， 因此 ， 对 方 程 的 合 理 变形 ， 能使 问题 变得 容 易 ． 三、 模 型 隐 蔽 化 的 转 化 思 维 空 间的 形 象 思 维 这 种 形 象 思 维 需 要 同 学 们 有 敏 锐的观察 力 和丰 富 的类 比联 想力 ， 要 求 学 生 思 考 问 题 不 要 停 止 和 束 缚 在一个层 面上 ， 要 大胆 地 跳跃 到 另 外一个思 维空 间上 去 解决 问题． 这 种思维在“ 转化思想 ” 中得 到 淋 漓 尽
将 形 象思 维 运 用 于数 学 学 习 中 ， 便 是 我 们所 熟 知 的数 形 结
那么 Ｏ ＜ｎ ＜４ —２ 、 ／ ３ 时， 有 四 个
交点． 讨论方 程解 的个 数 问题 时 ， 常 将 方 程 解 的个 数 问题 分 解 为 两 个 函
数 的 交 点 问 题 ，即 方 程 ｆ （ ２ １ ＂ ）一
■
孙
阴
态 的那 种 具 体 形 象 ， 而是 通 过 人 脑 加 工 而 产 生 的 理 想 形 象 ， 是
通过数学理想形象来把握 数学对 象本 质和规 律的一 种思维． 它 变得 有 章 可 循 ， 有法可依 ， 其 中 较 为 常 见 的 方 法 有 向量 法 ，
几何 图解 法 ， 函 数 图像 法 等．
ｆ
（ １ ＋ １ ） （ １ ＋ ÷ ） …１ ＋ ） ＞ ２ ．
分析 ： 本题常规证法是利用数学归纳 法． 但 若 采 用 构 造 数 列的方法 ， 这样将更简捷 、 新 颖． 显 然 ＞ ｏ ， “ ＝
．
， 若 对 任
８有 两 个 交 点 Ｐ ， ， Ｐ 。 ． 要 使 椭 圆 上
＼ ＝ Ｌ
‘
构造数列 ， 构造等价命题 ， 构 造 数 学模 型 等 等． 例 ３ 对 于 一 切 大 于 ｌ 的 自 然 数 ” ，证 明 ：
￣ ／ （ “ 一２ ） ＋（ ６ —１ ） 为 点 Ｐ（ Ｈ ， ｂ ）
到点 Ａ （ ０， ３）、 ／ ３（ ２ ， １） 的 距 离 之 和 的模 型． 易知 Ａ， Ｂ均 在椭 圆 外 ， 且 直 线 ＿ ＾ 『 】 ： 口 ＋ｂ 一３ ＝ ０与 椭 圆 ： ４ “ ＋ ｂ 一
立几 何 模 型 ， 其运 算 量 将 大 大减 小 ． 根 据条件 … ｉ ． ａ ２ ￣ ４ ＿ ｂ
一
ｚ
８
一 １ ．
建立 椭 圆模 型 ： Ｐ（ ｎ ， ｂ ） 为 中心在原 点 ， 焦 点 在 Ｙ轴 上 且 长 轴 长 为
又
的椭 圆上 的点 （ 如图 １ ） ：
、 ＋
致的发挥． 如 构 造 函数 ， 构造 坐 标 ，
合 思 想 的一 个 重 要体 现 —— 以 形助 数 ． 形象 思 维 有 利 于知 识 的
启迪 ． 比如 这 样一 道 数 学题 ： 用 三根 火 柴 摆 成 一 个 数 字 ， 是 这 个
数 字 介 于 ３和 ４之 间 ， 并 且 不 允 许 折 断 或 弯 曲． 被 考 者 苦 思 冥
云
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运 用 几 何 意 义 探 究 数量 关 系
例 １ 已知 “ ， ｂ 满足 ４ ａ 。 一８ 一ｂ ， 试求 ￣ ／ ｄ 。 ＋（ ｂ －３ ） ＋
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理， 两点 之 间 线段 最 短 时 ， 学 习者 可 以想 象 ： 如果 我 将 一 个 肉包
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二、 方 程 函数 与 图像 的 结合
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函数 图像 是 函 数 对 应 规 律 的 几 何 表 示 ， 能 直 观 地 反 映 出
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图 １
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形 象 思维 在 数 学学 习 中的 应 用 （ ＋ ÷ ） （ ＋ 了 １ ） … ＋、 ／ ， 二虿 二 的最 小 值 为 Ｉ Ａ Ｂ Ｉ 一 并令
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将 形 象思 维 运 用 于数 学 学 习 中 ， 便 是 我 们所 熟 知 的数 形 结
那么 Ｏ ＜ｎ ＜４ —２ 、 ／ ３ 时， 有 四 个
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分析 ： 本题常规证法是利用数学归纳 法． 但 若 采 用 构 造 数 列的方法 ， 这样将更简捷 、 新 颖． 显 然 ＞ ｏ ， “ ＝
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构造数列 ， 构造等价命题 ， 构 造 数 学模 型 等 等． 例 ３ 对 于 一 切 大 于 ｌ 的 自 然 数 ” ，证 明 ：
￣ ／ （ “ 一２ ） ＋（ ６ —１ ） 为 点 Ｐ（ Ｈ ， ｂ ）
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一 １ ．
建立 椭 圆模 型 ： Ｐ（ ｎ ， ｂ ） 为 中心在原 点 ， 焦 点 在 Ｙ轴 上 且 长 轴 长 为
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致的发挥． 如 构 造 函数 ， 构造 坐 标 ，
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数 字 介 于 ３和 ４之 间 ， 并 且 不 允 许 折 断 或 弯 曲． 被 考 者 苦 思 冥