第一节向量组及其线性组合

向量 a 1,a 2 ,组 ,a n 称为 A 的 矩列 阵 .向
第一节向量组及其线性组合
类,似 矩 A 地 阵 (a i)jm n 又 m 个 有 n 维行
a 11 a 21
a 12 a 22
a 1 n a2n
T 1
T 2
A a i1
ai2
a in
T i
a m 1 a m 2 a mn
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
第一节向量组及其线性组合
四 向量组的线性组合
第四章 向量组的线性相关性
第一节向量组及其线性组合
2
教学目的：通过本章的教学使学生理解向量组线性相 关性、线性组合、线性表示的概念，会判断向量组线性相 关性.掌握向量组的极大无关组和向量组的秩.了解向量空 间的概念，熟练掌握向量空间的基和空间中的向量用这个 基线性表示.
教学要求：会判断向量组的线性相关性；会求向量空 间的基和空间中的向量用这个基线性表示.
叫做 n维向量空间．
x ( x 1 , x 2 , , x n ) T a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b
叫做 n维向量空间 R n中的n1维超平面．
第一节向量组及其线性组合
n维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
()
( 2 2)
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a (x ,y ,z ,, ,)
第一节向量组及其线性组合
三、向量、向量组与矩阵
定义 若干个同维数的列向量（或同维数的行 向量）所组成的集合叫做向量组．
例A如矩 aaa121 11A 阵 aaa122(22ai )jm n有 aaa12j jn j 个 m 维 aaan12nn列向量 am1 am2 amj amn
第一节向量组及其线性组合
例1.1 计算
1
设
0
,
1
1
1
来自百度文库
,
0
求 1） α +2 β ;
2） 3α－β .
解
α +2β＝
1 1 1 2 1
0
2
1
0
2
2
,
1 0 1 0 1
3α－β ＝
1 1 3 1 4
3
0
1
第 一 节10 向 量组及其03 线 性 组合10
1
.
3
三、向量空间
解析几何
向量
(n3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐
有次序的实数组成的数组
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
标
代数形象： 向量的
坐标表示式
系 aT(a 1,a 2, ,a n)
第一节向量组及其线性组合
解析几何
空间
(n3)
线性代数
点空间：点的集合
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
T 1
的向量组1T , 2T ,mT ,
构成一个m n矩阵
B
T 2
m
T
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线性方程组的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, a21x1a22x2 a2nxn b2, am1x1am2x2 amnxn bm.
a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b
注：如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的
线性运算.
第一节向量组及其线性组合
n维向量的运算律
设 α , β , γ为n维向量，k、l为实数，0为零向量.
1) α + β = β + α; 2) α + β + γ = α + ( β + γ ); 3) α + 0 = α; 4) α + ( – α ) = 0; 5) 1·α = α; 6) k ( l α ) =( k l ) α; 7) k ( α + β ) = kα + kβ; 8) ( k + l ) α = kα + lα.
第一节向量组及其线性组合
2、n维向量的运算
定义2.2 设n维向量
α=(a1,a2,…,an); β=(b1,b2,…,bn);
1) α= β,当且仅当ai= bi(i=1,2, …,n);
2) α + β =(a1+ b1, a2+ b2,…,an+ bn);
3) kα=(ka1, ka2,…, kan),其中 k 是数量.
教学重点： 向量组线性相关性的判定；向量空间基的 求法.
教学难点： 向量组线性相关性定理的证明.
第一节向量组及其线性组合
一、 n维向量的概念
定义1 n个有次序 a1,a的 2, 数 ,an所组成的 组称n维 为向量n个 ，数 这称为该 n个向分量量的 第i个数 ai称为i个 第分. 量
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
aT(a 1,a 2, ,a n)
n维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b,,等表示，如：
a 1
a
a2
a n
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注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
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反之，由有限个向量所组成的向量组可以构
成一个矩阵.
m 个 n 维 列 向 量 所 组 成 的 向 量 组 1 , 2 , , m ,
构 成 一 个 n m 矩 阵
A (1 ,2 , ,m )
m个n维行向量所组成
坐
向量空间：向量的集合
标
代数形象： 向量空
系
间中的平面
( x ,y ,z ) a b x c y d z r ( x ,y , z ) T a b x c y d z
P(x,y,z)
一一对应
r(x,y,z)T
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n3时，n维向量没有直观的几何形象．
R n x ( x 1 , x 2 , , x n ) T x 1 , x 2 , , x n R
第一节向量组及其线性组合
例如 (1,2,3, ,n) ( 1 2 i , 2 3 i , , n ( n 1 ) i )
第2个分量 第1个分量
第n个分量
第一节向量组及其线性组合
n维实向量 n维复向量
二、n维向量的表示方法
n维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT,bT,T,T等表示，如：