第四章 流体流动微分方程

∆p R r u= 1 − L 4µ R
∆p∗ r 切应力分布式 τ = − rz L 2
阻力系数
64 λ= Re
§4.3 狭缝流动分析
狭缝流动通常指两块足够大的平行平板（ 狭缝流动通常指两块足够大的平行平板（或板间 通常指两块足够大的平行平板 距大大小于板宽的平行平板)间的流动。 距大大小于板宽的平行平板)间的流动。 应用： 应用：工业上如 活塞与气缸之间的缝隙等 假设: 平行平板很长，不可压缩粘性流体作定常层流 平行平板很长， 流动。 流动。 采用直角坐标系
输入微元体 输出微元体 作用于微元体 + =0 （4-1） 的动量流量 的动量流量 的诸力之和
。
§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述
牛顿剪切定律作为补充方程将速度和切应力联系起来。 2、 牛顿剪切定律作为补充方程将速度和切应力联系起来。 对于左图一维流动， 对于左图一维流动，牛顿剪切定律为
τ yx
§4.2 圆管中流体的层流流动
积分上式， 积分上式，切应力分布方程
∆p∗ r C1 du + µ = τ rz = − L 2 r dr
速度分布方程
(5(5-13b)
（适用牛顿流体） 适用牛顿流体） (5(5-14b)
∆p∗ r 2 C1 u=− + ln r + C2 L 4µ µ
边界条件
du =0 = 0, u r = R = 0 r dr
§4.3 狭缝流动分析
流体微元如图（b)所示，垂直于x 平面的厚度为1 流体微元如图（b)所示，垂直于x-y平面的厚度为1 所示 外力（ 方向） 外力（ x方向） 上下表面的切应力 τ 流体截面上的压力p, 流体截面上的压力p, 质量力g 质量力g在x方向上分量
g cos β
yx
，
§ 4.3 狭缝流动分析
就简为力平衡方程， 就简为力平衡方程，即
§ 4.3 狭缝流动分析
∂τ yx 微元体上x方 ∂p = −τ yxdx + τ yx + dy dx + pdy − p + dx dy 向的诸力之和 ∂y ∂x
+ ρ g cos β dxdy
∂τ yx ∂p = − + ρ g cos β dxdy = 0 ∂y ∂x
着眼于流场中的点（微元体） 着眼于流场中的点（微元体）建立流体流动的微分 所给出的流场分布信息， 方程。微分方程所给出的流场分布信息 方程。微分方程所给出的流场分布信息，不仅揭示了 宏观流动现象的内在信息，且是确定最大速度、 宏观流动现象的内在信息，且是确定最大速度、流动 阻力、壁面切应力等工程实用参数必需的。 阻力、壁面切应力等工程实用参数必需的。 一、建立流动微分方程的基本方法(应用动量守恒定 建立流动微分方程的基本方法( 律与牛顿剪切定律) 律与牛顿剪切定律) 基本步骤分三步： 基本步骤分三步： 1、 建立微元体的动量守恒方程。对于稳态流动有 建立微元体的动量守恒方程。
《工程流体力学》 电子教案
第四章 流体流动微分方程
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 不可压缩流体的一维层流流动概述 圆管中流体的层流流动 狭缝流动分析 连续性方程 以应力表示的运动方程 粘性流体运动微分方程（ 方程） 粘性流体运动微分方程（N-S方程） 及应用
§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述 4.1不可压缩流体的一维层流流动概述
§4.2 圆管中流体的层流流动
切应力与速度分布（用于一维稳态不可压缩充分发展层流流动） 切应力与速度分布（用于一维稳态不可压缩充分发展层流流动） 与速度分布
∆p r τ rz = − L 2
∗
(5(5-16)
r 2 ∆p R u= 1 − L 4µ R
输 入 微 元 体 的 动 量 流 量 = ρ u 2 dy 输 出 微 元 体 的 动 量 流 量 = ρ u 2 dy
这说明对于充分发展一维层流流动，动量方程（4-1）式 这说明对于充分发展一维层流流动，动量方程（
输入微元体 输出微元体 作用于微元体 + =0 的动量流量 的动量流量 的诸力之和
§4.3 狭缝流动分析
§4.3.1 狭缝流动的微分方程 下图（a)所示，两平壁（间距为b)之间的流动。下 图 a)所示 两平壁（间距为b)之间的流动。 所示， b)之间的流动 壁固定，上壁面以速度U平行下壁面运动。在平壁间， 壁固定，上壁面以速度U平行下壁面运动。在平壁间， 密度ρ 密度ρ的不可压缩 流体沿x 流体沿x轴方向做一维 层流流动，速度为u，主 层流流动，速度为u 流方向（ 轴正向） 流方向（x轴正向）与重 力加速度g 力加速度g之间的夹角为 β.
∗ 2
(5(5-17)
§4.2 圆管中流体的层流流动
最大流速、平均流速、圆管流量、 最大流速、平均流速、圆管流量、阻力系数与 流动损失 1. 最大流速 管轴处: 管轴处: 2. 平均流速 平均流速
umax
∆p R = L 4µ
2
∗
1 um = π R2
∫
R
0
∆p∗ R 2 umax = u ⋅ 2π rdr = L 8µ 2
du = µ dy
（4-2）
y
τ yx
τ yx 下标y表示切应力所在平面的法线方向， 下标y表示切应力所在平面的法线方向，
下标x表示切应力作用方向。 下标x表示切应力作用方向。 将上面两式处理后可消去切应力， 3、 将上面两式处理后可消去切应力，获得关于流 体速度的微分方程-流体微分方程。 体速度的微分方程-流体微分方程。
该条件为不可压缩流体一维稳态流动的连续性条件
§4.2 圆管中流体的层流流动
的圆截面直管道的不可压缩粘性流体 以倾斜角为β 的圆截面直管道的不可压缩粘性流体 的定常层流流动为例 的定常层流流动为例。
采用柱坐标， 采用柱坐标，参数 如图，一维流动， 如图，一维流动，
u r = uθ = 0
§4.2 圆管中流体的层流流动
x
§4.1
不可压缩流体的一维层流流动概述
二、常见边界条件 流体的个性是由边界条件和初始条件确定的。对于工程问题， 流体的个性是由边界条件和初始条件确定的。对于工程问题， 边界条件和初始条件确定的 常见的流场边界条件有三类 1 固壁-流体边界 固壁由于流体有粘滞性，故与流体接触的固 由于流体有粘滞性， 体壁面上，流体的速度将等于固体壁面的速度。特别的在静 体壁面上，流体的速度将等于固体壁面的速度。 止的固体壁上，流体的速度为零。 止的固体壁上，流体的速度为零。 液体2 液体-气体边界 为零。 为零。 对于非高速流动， 对于非高速流动，气液界面上的切应力 相对于液相内的很小， 相对于液相内的很小，故通常认为液相切应力在气液界面上
动量流量（ 方向 方向） 动量流量（x方向） 流入微元体的质量流量 ρ u入 dy 流出微元体的质量流量 ρ u出dy 又因流动是充分发展的， 又因流动是充分发展的，即
∂u =0 ∂x
§4.3 狭缝流动分析
故有流体进出微元体的速度皆为u,所以在x 故有流体进出微元体的速度皆为u,所以在x方向有 u,所以在
§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述 4.1不可压缩流体的一维层流流动概述
液体3 液体-液体边界 由于穿越液由于穿越液-液界面的速度分布或切应力 分布具有连续性，故液-液界面两侧的速度或切应力相等。 分布具有连续性，故液-液界面两侧的速度或切应力相等。 三 、流体流动条件说明 以下两小节研究不可压缩流体的一维层流流动几种工程 常见情况。稳态意味着流动过程与时间无关；不可压缩意味 常见情况。稳态意味着流动过程与时间无关；不可压缩意味 意味着流动过程与时间无关 着流体密度为常数；一维流动意味着流体指在一个坐标方向 着流体密度为常数；一维流动意味着流体指在一个坐标方向 上流动，且速度的变化也只与一个空间坐标有关；层流指的 上流动，且速度的变化也只与一个空间坐标有关；层流指的 是平行流动的流体层之间只有分子作用， 是平行流动的流体层之间只有分子作用，只有在层流条件下 牛顿剪切定律才成立。（层流概念详细见教材第九章） 牛顿剪切定律才成立。（层流概念详细见教材第九章） 。（层流概念详细见教材第九章
流体微元如左图， 流体微元如左图， 受力分析:(z方向） 受力分析 方向） 方向 表面切应力： 表面切应力： τ rz 流动截面上的压力：p 流动截面上的压力： 单位质量的重力g的分量： 单位质量的重力g的分量：
g cos β
§4.2 圆管中流体的层流流动
一维不可压缩稳态流 充分发展的流动）， 动（充分发展的流动）， 即 ∂u
+ =0 的动量流量 的动量流量 的诸力之和
τ yx = µ
du dy
.联立两方程求出速度分布式 联立两方程求出速度分布式、 c .联立两方程求出速度分布式、切应力分布式
1.的方法推导出圆管内的速度 的方法推导出圆管内的速度、 2. 用1.的方法推导出圆管内的速度、切应力分布式 2 速度分布式 ∗ 2
阻力系数 水平管: 水平管:
64 λ= Re
∆p L um 2 hf = =λ ρg D 2g
Re =
Dum ρ
µ
雷诺数
结论： 结论：层流流动的沿程损失与平均流速的一次方成正比。
上节课回顾:
1.学习了一维不可压缩流体稳态层流流动时建立 1.学习了一维不可压缩流体稳态层流流动时建立 学习了一维 流体流动微分方程的方法: 流体流动微分方程的方法: 输入微元体 输出微元体 作用于微元体 .写出微元体的动量守恒方程 a .写出微元体的动量守恒方程 .给出速度与应力的关联式 b .给出速度与应力的关联式
∂vx vz = v y = 0， = 0 ∂x
§4.3 狭缝流动分析
一方面，可忽略端部效应及进出口的影响， 一方面，可忽略端部效应及进出口的影响，视为充 分发展的流动； 分发展的流动； 另一方面，狭缝的水力直径很小， 另一方面，狭缝的水力直径很小，且化工介质的黏 度较大，故雷诺数较小故处于层流流动。 度较大，故雷诺数较小故处于层流流动。 就流动因素而言， 就流动因素而言，一种是由进出口两端的压力差产 生的流动，称为压差流 压差流； 生的流动，称为压差流；另一种是由于两壁面的 剪切流。 相对运动产生的流动称为剪切流 相对运动产生的流动称为剪切流。还有非水平的 狭缝流动，将有重力的影响。 狭缝流动，将有重力的影响。
∆p∗ π R 4 2 qV = π R u m = 3. 圆管体积流量 L 8µ π R 4 ∆p qV = 水平管: 水平管: 8µ L 哈根哈根-泊谡叶方程
§4.2 圆管中流体的层流流动
4. 阻力系数与 流动损失 定义式 ∆p = λ L
∗
( D ) ( ρu 2)
2 m
∆p ∗ R 2 ∆p∗ D 2 um = = L 8µ L 32 µ
§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述
又由上述条件（参见第六章连续性方程部分）可知流 又由上述条件（参见第六章连续性方程部分）可知流 体沿流动方向上的速度变化必然为零（ 体沿流动方向上的速度变化必然为零（满足该条件的 充分发展的流动） 流动又称充分发展的流动 流动又称充分发展的流动）即有
∂u = 0 ∂x
§ 4.3 狭缝流动分析
切应力方程 应力方程
∂τ yx
切应力方程
∗ ∂ ( rτrz ) ∂p ∂p = r − ρg cosθ = r ∂r ∂z ∂z
∗ 令 p = p − ρ gz cos β
∗
∆p = ( p 0 −ρgz0 cos β ) −( pL − ρgzL cos β )
const
−∆p∗ L
∂z
=0
故在z 方向有 故在 输入微元体动量流量 动量流量： 输入微元体动量流量：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（ρu2π rdr) u
动量流量： 输出微元体动量流量 输出微元体动量流量：
（ρu2π rdr) u
相等
动量守恒方程
力平衡方程
§4.2 圆管中流体的层流流动
微元体上z向 ∂τ = −τ rz 2π rdz + τ rz + rz dr 2π ( r + dr ) dz ∂r 的诸力之和 ∂p + p 2π rdr − p + dz 2π rdr + ρ g cos θ 2π rdrdz ∂z