64-第六章习题课(概率统计)

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本章重点： 1. 简单随机样本的概念; 2. 统计量定义; 3. 常用的抽样分布及抽样分布定理. 本章难点： 1. 简单随机样本的利用问题; 2. 统计量的判断; 3. 抽样分布的有关证明. 一、主要内容归纳 1. 数理统计的基本概念
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表6-1 数理统计的基本概念
总体 具有一定共同属性的研究对象的全体. 组成总体的每一个元素.
2
2 分析 由 分布的定义,只要把括号里面的
统计量化为服从标准正态分布的随机变量即可. 解 因为Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2, 因为 X i ~ N (0, 2 ),所以
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X1 X 2 X 3 ~ N (0, 3 2 ), X 4 X 5 X 6 ~ N (0, 3 2 ).
2
求概率 P{X 4 1.31 Y }.
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分析 本题中一边是服从正态分布的随机 2 变量,一边是服从 随机变量可能就服从t分布.
分布的随机分布的随机变量, 把服从变量除
2
到服从正态分布的随机变量的一边, 这样这个 随机变量可能服从t分布. X 4 ~ N (0,1) ,它与 解 因为X~N(4,9), 故 Y相互独立,于是
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解 由抽样分布的定理知, X
n 1 n
~ N (,

2
n
).
又因为 X n1 ~ N ( , 2 ) 且与 X1, X 2 ,…, X n 相互独立, 所以, X n 1 X ~ N (0, 故标准化随机变量
( n 1) S
2
).
2
X n 1 X

n 1 n
2
2
分布的 随机变量是服从标准正态分布的随机 变量的平方和. 扩展 一般情况下, 只要是服从正态分布的 随机变量的平方和, 则它多服从 上页 下页 返回
分布. 注意,一定要标准化随机变量.
2
例3 设总体 X ~ N (, 2 ) ,
2
X1 , X 2 ,, X n 是来自
总体X的一组样本. X 与 S 分别是样本均值与
2
讲评 在分子中的Xn一定不能在分母的 求和中出现,否则分子与分母就不相互独立了, 这样就不一定服从F分布了. 扩展 题中分子与分母的形式可以变化, 只要满足都是服从正态分布的随机变量的平 方和且二者相互独立即可. 参见例3, 并比 较分母的形式.
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2. 利用抽样分布进行有关概率计算 例5 设X1,X2,…,X25是取自总体X~N(20,3)
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4. 常用的重要结论 设X ,X
1 2
, , X n是总体N ( , ) 的样本, X , S
2
2
分别 是样本均值与样本方差,有 2 (1) X ~ N ( , );
n ( n 1) S 2 (2) ~ ( n 1); 2 2 (3) X 与 S 独立;
~ N (0,1).
又因为

2
~ ( n 1), 且
2
( n 1) S
2

2
与
X n 1 X

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n 1 n
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相互独立，所以
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X n 1 X

n 1 n
2
( n 1) S

X n 1 X S
n Y ~ t (n 1). n 1
2 ( n 1)
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(2) 当 2 时
2 1 2 2
( X Y ) ( 1 2 ) Sw 1 n1
2

1 n2
~ t ( n1 n2 2).
其中
Sw
2
(n1 1) S1 (n2 1) S2 n1 n2 2
2
, Sw
Sw
2
二、 例题分类解析 1. 确定统计量服从什么样的抽样分布 例1 X1 , X 2 ,, X n是总体X~B(1, p)的样本, 则
个体
若X1,X2,…,Xn相互独立且与总体X同分布, 则称 简单随机 X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本, 简称为样 样本 本. 统计量
抽样分布 样本X1,X2,…,Xn的任一不含未知参数的函数. 统计量的分布, 称为抽样分布. 设随机变量X的分布函数为F(x), 对于给定的数 a(0<a<1), 若Fa满足P{X>Fa}=a, 则称Fa为随机变量X 的分布的上a分位点.
服从正态分布，即 X
讲评 样本均值是样本的函数且不含未知
参数, 从而样本均值也是统计量,其服从的极限 分布由中心极限定理求出. 扩展 可修改条件为X~N(μ, σ2),考查同 样问题.
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例2 设总体X~N(0, σ2)(σ>0), X1,X2,…,
X6是取自总体X的样本,设
Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2, 则当c= , cY服从自由度为 的 分布.

2
2 ~ (2n) . 2 设X~N(0,1),Y~ (n )
X Y /n
且相互独立, 则称
t分布
t
服从自由度为n的t分布, 记为t~t(n).
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设 F分 布
X ~ (m), Y ~ (n) 且相互独立, 则称
2
2
X /m F Y /n
服从自由度为m,n的F分布,记为 F~F(m,n).
的样本,记X 为X1,X2,…,X10的样本均值,
Y 为X11,X12,…,X25样本均值.
求 P{ X Y 0.3}.
分析 显然, 只要确定了 X Y 的分布就可求
,
以出其概率.
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解 由抽样分布的定理, 知 X ~ N (20,
3
3 10
3
),
3
Y ~ N (20, ) .题设二者相互独立,于是X Y ~ N (0, ), 10 15 15
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X 的分布为
i i 1
n
, 当n很大时, 样本均值 X 分布.
n
近似服从
分析 X1, X 2 ,…, X n 相互独立,且服从两点分 布, 所以由二项分布的定义可以求得和 X 的 分布. 解 因 X1, X 2 ,…, X n 是来自总体X~B(1, p)的样本, 故X1, X 2 ,…, X n 相互独立且
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样本均值 样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩
X
S
2
1
X n
i 1
.
n
.
i
1
n 1
.
2 ( X X ) i i 1
n
S
1 n 1
2 ( X X ) i i 1
n
Ak
Bk
1
1 n
X n
i 1
n
.
n
k i
, k≥1
k ( X X ) , k≥2 i i 1
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分位点
讲评 (1) 统计量包含两个关键词: 一是
样本的函数, 二是不包含未知参数. (2) 上a 分位点是一个数, 它是指服从某 一分布的随机变量大于这个数的概率正好等于
a, 这个数就称为这个分布的上a分位点. 这个定
义在参数估计和假设检验中有重要作用.
2. 常用的统计量 表6-2 常用的统计量
2
Xn

) ~ (1).
2 2

(
)
2
Xn
两者独立, 由F分布的定义得,
(
i 1
n 1
Xi

)2
~ F (1, n 1). )
2

n 1
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即
Y
( n 1)( X n )
2

i 1
n 1
~ F (1, n 1).
( Xi )
第六章 数理统计的基本概念
习题课
内容简介：
在第六章中，主要是通过所研究 对象的其中一部分的性质和数量指标来推断 研究对象的整体性质和数量指标，即用样本 特征来推断总体特征. 分三块讲解，一是“主 要内容归纳”，二是“例题分类解析”，三 是“学习与研究方法”总结. 在“例题分类解 析”部分，讲解了： 1. 确定统计量服从什么样的抽样分布 2. 利用抽样分布进行有关概率计算.
即
X Y ~ N (0, ). 2
1
,
所求概率为
P{ X Y 0.3} P{ 2( X Y ) 0.3 2}
2[1 Φ (0.3 2 )].
=0.67.
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讲评 本题型在前面多次遇到,利用正 态分布的标准化公式就可以处理.
扩展 求 P{ aX bY c}的概率与此题方法 类似.
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讲评 上述常用的统计量, 我们在以后学习 中经常使用, 读者应该熟练掌握计算公式. 3. 常用的抽样分布
设 X1, X 2 ,, X n 是来自总 体N(0,1)的样本, 则称统计 2 2 2 2 2 分布 量 = X1 X 2 X n 服从自由度为n的 分布, 记为
n 1 i 1
( n 1)( X n )
i
2
)
2
分析 统计量Y的分子与分母是服从正态分
布的随机变量的平方,所以它可能服从F分布. 解 由题设, X ~ N (0,1), 所以 ( X
n
n

注意到
( X )
i i 1
n 1
2

2
~ (n 1), , 且与 (
i i 1
Xi~B(1,p)(i=1,2,…,n), 由两点分布可加性
和二项分布的定义, 知
X ~B(n,p).
i i 1
n
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由于E(X)=p, D(X)=p(1-p). 由中心极限定理知
Xp
p (1 p) n
~ N (0,1)
, 所以样本均值近似
~ N ( p, p (1 p ) n ).
讲评 本题考查的是t分布的定义,但它 的形式不明显,我们要构造出它的形式,这是 本题的难点.
扩展 题目要具体问题具体分析, 主要 是看它是否服从正态分布的随机变量与服从 2 分布的随机变量的商的形式.参见例4, 并比较分母的形式. 上页 下页 返回
例4 题设条件同例3,问统计量Y (X 服从什么分布?
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S
2
20S
2
20S
2
讲评 本题的关键是求出其分布, 再结合
分位点的定义(需要查表)就可轻松解出.
扩展 分位点的使用一般有三种情况: (1) 已知自由度n与a, 查出分位点. (2) 已知自由度n与分位点, 查出a.
(3) 已知分位点与a, 查出自由度n. 例7 设X,Y相互独立, X~N(4,9), Y ~ (16).
n1 n2
n1
i
i 1
n2
n1
i
i 1
本均值,
2 S1
1 n1 1
2 2 ( X X ) , S i 2 i 1
1 n2 1
2 ( Y Y ) i i 1
n2
分别是这两个样本的样本方差, 则有 S12 / S2 2 (1) ~ F (n1 1, n2 1); 2 2 1 / 2
2
(4)
X S/
n
~ t ( n 1).
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分别是来自正态 2 2 总体N (1 , 1 ) 与 N (2 , 2 ) 的样本,且这
1 2
1
设X , X
,, X n 与Y1 , Y2 ,, Yn
2
两个样本相互独立, 设X 1 X , Y 1 Y 分别是这两个样本的样
2 X ~ N ( , )且与 X1 , X 2 ,, X n 样本方差, 又设 n1
相互独立, 则统计量
Y X n 1 X S n n 1
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服从什么分布?
统计量Y的分子是两个服从正态分 2 布的随机变量的差,而分母可能与 分布有
分析
关, 因此统计量Y 可能服从t分布.
讲评 上述三个抽样分布的定义, 在一些证明题
中会经常遇到; 常用的抽样分布与分位点结合起来, 在 后面的参数估计与假设检验中经常使用; 三个抽样分 布都是利用标准正态分布和独立性给出的结构型的定 义,如果给出了正态分布,需要将随机变量标准化为服 从标准正态分布,即可利用三个抽样分布的定义解决问 题.
例6 在总体 X~N( 的样本, 求 P{
S2
2
,
S
2
2
)中抽出容量为21
≤2}.
分析 只要确定了 2 的分布就可以计算 其概率.
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解 由抽样分布定理知
( n 1) S
2

2
~ ( n 1).
2
得到 于是，
20 S
2

2
~ (20).
2
P{ 2 ≤2} P{ 2 ≤40} 1 P{ 2 40} 1 0.01 0.99.
故
X1 X 2 X 3 3
~N (0,1),
2
X4 X5 X6 3
~N (0,1)
) ~ (2).
2 2
所以
Y
2
3 3 1 即 c 2 , 自由度为2. 3
(
X1 X 2 X 3
) (
X4 X5 X6 3
讲评 本题考查了 分布的定义, 服从