第二章函数(复习)

第二章 函数

第一节 对函数的进一步认识

A 组

1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4

x

的定义域为________．

解析：⎩

⎪⎨⎪⎧

－x 2－3x ＋4≥0，

x ≠0，⇒x ∈[－4,0)∪(0,1]

答案：[－4,0)∪(0,1]

2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，

其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1

f (3)

)的值等于

________．

解析：由图象知f (3)＝1，f (1

f (3)

)＝f (1)＝2.答案：2

3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

3x ，x ≤1，

－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.

解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32； 当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满

足f [f (x )]>1

的这样的函数个数有________个．

解析：如图．答案：1

5．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋

b 2(x ＋1)＋

b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.

解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1得：－1＝b 3；

再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧

－1＝1＋b 1＋b 2＋b 3

3＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3

，

解得b 1＝－1，b 2＝0.

答案：(－1,0，－1)

6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

1＋1

x

(x >1)，

x 2

＋1 (－1≤x ≤1)，

2x ＋3 (x <－1).

(1)求f (1－

1

2－1

)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝3

2

， 求a .

解：f (x )为分段函数，应分段求解．

(1)∵1－1

2－1

＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，

又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝3

2

.

(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x

3x －1

；

若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤3

2，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；

若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.

∴f (3x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧

3x

3x －1

(x >2

3)，

9x 2

－6x ＋2 (0≤x ≤23

)，

6x ＋1 (x <0).

(3)∵f (a )＝3

2

，∴a >1或－1≤a ≤1.

当a >1时，有1＋1a ＝3

2

，∴a ＝2；

当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±2

2

.

∴a ＝2或±2

2

.

B 组 1．(2010年广东江门质检)函数y ＝1

3x －2＋lg(2x －1)的定义域是________．

解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >2

3}

2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，

2x －1，(x >2)，

则f (f (f (3

2

)＋5))＝_.

解析：∵－1≤32≤2，∴f (3

2

)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，

∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：7

3．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．

解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)， 由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②

①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，

∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋1

3

lg(1－x )，(－1

答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋1

3

lg(1－x )，(－1

4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．

解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数

5．设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为