高等数学 隐函数求导

d2 dx
y
2
.
六、设 f (x)满足 f (x) 2 f (1) 3，求 f (x) . xx
练习题答案
一、1、 4 ； 3
2、 x 11y 23 0
3、p
2
x
y
p
2
0；
4、sint cost ,2 cost sint
x
)4
；
3、 y x sinx 1 ex .
四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数d 2 dx
y
2
：
1、
x y
a cost bsint
；
2、
x y
f tf
(t) (t)
f (t)
设f
(t)存在且不为零
.
五、求由参数方程
x
ln(1
t2)
所确定的函数的
y t arctant
二阶导数
①
再求导, 得
e y y2 (e y x) y 2 y 0
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得
再代入 ② 得
y(0) 1
e
y(0)
1 e2
对数求导法
观察函数 方法:
y (x 1)(x 2) , y xsinx. (x 3)(x 4)
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.
,且
y t f (t) f (t)
f (t) 0,求
d2 dx
y
2
.
解: d y t f (t) t , d x f (t)
d2 y d x2
1
f (t)
练习:
求
dy , d2y . dx dx2
解:
dy dx
1; t
d2 y d x2
1
t 2t
1 t3
内容小结
1. 隐函数求导法则 2. 对数求导法 :
数，则dy =________. dx (1,1)
2、曲线 x 3 y3 xy 7在点（1，2）处的切线方程 是___________.
3、曲线
x y
t cost在t t sint
p
2
处的法线方程________.
4、已知
x y
et et
cost ,则 dy =______； dy
sint dx
直接对方程两边求导
适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
思考与练习
1. 设
且
存在，求
由方程
确定,
解: 方程两边对x 求导,
得
f (x3 y3)(3x2 3y2 dy ) 3cos 3x 6 dy 0
dx
dx
cos 3x f (x3 y3) x2 f (x3 y3) y2 2
y (含导数 的方程)
例1. 求由方程
在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得
5y4 d y 2 d y 1 21x6 0
Leabharlann Baidu
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
因x=0时y=0, 故
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
y
x2
y
3 2
3
9 x 16 y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为
y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
练习： 求由方程
确定的隐函数
的一阶导数
二阶导数
解: 方程两边对 x 求导，
得
dy 2 dx 2 cos y
d( 2 ) dx 2 cos y
2sin y y (2 cos y)2
dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d (dy) dx dx
d dt
(
d d
y x
)
ddtx ddxt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t
)
(t) (t 3 (t )
)
(t
)
(t )
例5 解
例6 解
所求切线方程为
注意 : 已知
对谁求导?
?
x
例7.
设
x f (t)
dx
p t
=______.
3
5、设 xy e x y,则dy=________. dx
二、求下列方程所确定的隐函数y
的二阶导数d 2 dx
y
2
：
1、
；
2、
；
3、x y y x (x > 0，y > 0).
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、 y x ； x2
2、y
x
2(3 (x 1)5
的导数 .
(cos x ln x sin x) x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
又如,
两边取对数
对 x 求导
二、由参数方程所确定的函数的导数
例如
消去参数
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0 时, 有
适用范围:
--------对数求导法
对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积 函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导
例4. 求
解: 两边取对数 , 化为隐式
的导数 .
两边对 x 求导
1 y
y
cos
x
ln
x
sin x
x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
求
解:
2 sin (2 cos
y y)2
2 2 cos
y
4sin y (2 cos y)3
隐函数求高阶导数
法1: 由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导 数的显式继续求导.
法2: 反复用隐函数的表达式直接求n阶导数.
例3 解
练习 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导,
得
ey y y x y 0
第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 ,
函数为隐函数 .
（隐函数的显化）
由
表示的函数 , 称为显函数 .
则称此
例如,
可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
解 解得
作业
P82 1(2)(3) ; 2 ; 4 (2) (4) ;
5 (1) (2); 6 (2) ; 8
第五节
思考题
1. 设 解: 方法1
求其反函数的导数 .
y 方法2 等式两边同时对 求导
2.
,求
设
解：方程组两边同时对 t 求导, 得
dy d x t0
一、填空题：
练习题
1、设 x 3 2x 2 y 5xy2 5y 1 0确定了 y是 x 的函
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 )
dt
若上述参数方程中
则由它确定的函数
且 二阶可导,
可求二阶导数 .
利用新的参数方程
x (t)