6投资组合有效边界计算

6最优投资组合选择

最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。下面分别讨论。

一、一个无风险资产和一个风险资产的组合

当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为：

f P r w r w r )1(-+=

其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。

这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式：

f P r w r wE r E )1()()(-+=

σσw P =

(因为122

22212

2

)1(2)1(σσσσw w w w

P -+-+=,2112122,0σσρσσ===0)

其中σ为风险资产的标准差。

根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系：

P f

f P r r E r r E σσ

-+

=)()( 3-1

当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。

随着投资者改变风险资产的投资权重w ，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上1>w ，资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。如果投资者将全部财富都投资在无风险资产上0>w ，资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。风险资产r 与无风险资产f r 将配置线分为三段，其中，无风险资产和风险资产之间的部分意味着投资者投资在风险资产和无风险资产上的财富都是正值；此时10<w 。由于我们没有考虑卖空风险资产的问题，所以不存在0

资本配置线的斜率等于资产组合每增加一单位标准差所增加的期望收益，即每单位额外风险的额外收益。因此我们有时也将这一斜率称为报酬与波动性比率。

在资本配置线的推导中，我们假设投资者能以无风险收益率借入资金。然而，在实际的资本市场中，投资者在银行的存贷利率是不同的。一般来说，存款利率要低于贷款利率。因此如果把存款利率视为无风险收益率，那么投资者的贷款利率就要高于无风险资产收益率。在这种情况下，资本配置线就变为一条折线。我们可以假设无风险资产收益率为f r ，投资者向银行贷款的利率为'

f r 。在这种情况下，若投资者需要借入资金投资到风险资产时，

资本配置线的斜率就应该等于σ/])(['

f r r E -，该斜率小于σ/])([f r r E -。此时，在期望

-收益差平面上，资本配置线就变成了如下的形状。其中资本配置线在风险资产右侧的斜率要低于其左侧部分。

二、两个风险资产的组合

当市场中的资产是两个风险资产时，比如一只股票和一个公司债券，且投资到股票上的财富比例为w ，我们可以将该资产组合的收益写为：

21)1(r w wr r P -+=

此时资产组合的期望收益和标准差分别为：

)()1()()(21r E w r wE r E P -+=

),cov()1(2)1(212222122r r w w w w P -+-+=σσσ

21122

22212)1(2)1(σσρσσw w w w -+-+=

其中12ρ为股票和债券收益率的相关系数。

此时，根据期望的表达式，我们可以求出投资权重为：

)

()()

()(212r E r E r E r E w P --=

将其代入到标准差方程，可以得到该资产组合期望收益和标准差之间的关系式：

c r E b r E a P P P +⨯-⨯=)()(22σ 3-2

其中2

212

1122

221))()((2r E r E a --+=

σσρσσ

2

212

11221221212))()(()]()([2)(2)(2r E r E r E r E r E r E b -+-+=σσρσσ 2

212

112212

2122122))

()(()()()()(2r E r E r E r E r E r E c --+=σσρσσ 当市场中存在两个风险资产的情况下，3-2描述了资产组合所有可能的期望收益和标准差的组合，当12ρ取不同的值时，上述关系是在期望收益-标准差平面中的形状也有所不同，我们对此分三种情况进行讨论。

（1）12ρ=1

在这种情况下，两个资产的收益率是完全相关的，这时，标准差变为：

2212])1([σσσw w P -+=

在不考虑卖空或借贷的情况下，即10<

21)1(σσσw w P -+=

结合期望收益式子，可以求出

)()()

()()(222

121r E r E r E r E P P +-⨯--=

σσσσ

当两个风险资产完全正相关时，上式是资产组合期望收益和标准差的关系。该式子在期望收益-标准差平面上是一条通过1点和2点的线段。

（2）12ρ=-1

在这种情况下，两个资产的收益率是完全负相关的，这时，标准差变为：

2212])1([σσσw w P --=

该方程对应着