莱布尼茨定理

【参考答案】 A
【对应考点】 一般常数项级数 【试题解答】
若 收敛，则
也必定收敛，由级数的性质可知
收敛．
令
， 收敛，但
发散，
也发散．
令
，则交错级数 收敛，
发散．
10. 下列级数中发散的是 ． (5分)
nmlkj
nmlkj
nmlkj
nmlkj
【参考答案】 A 【对应考点】 交错级数
【试题解答】
，
，所以
收敛，但
发散，故题设级数条件收敛.
2. 级数
nmlkj 发散 nmlkj 绝对收敛
（常数 ） ． (5分)
nmlkj 条件收敛 nmlkj 敛散性与 有关
【参考答案】 C 【对应考点】 交错级数
【试题解答】
，令
，则
，
而
收敛，所以
收敛，即
绝对收敛．ຫໍສະໝຸດ Baidu
3. 关于级数
nmlkj
时，条件收敛
nmlkj
时，绝对收敛
与
． (5分)
nmlkj 均收敛 nmlkj 一个收敛，另一个敛散性不确定
nmlkj 一个收敛，另一个发散 nmlkj 敛散性均不能确定
【参考答案】 C 【对应考点】 数项级数的判别法
【试题解答】
令
，则
，由
可知
，所以
收敛．
若令 ，则 满足条件，而 收敛；令
同样满足条件，但 发散．
8. 若 nmlkj nmlkj
发散．
由于
，而 收敛，所以
收敛．
，
，且
，所以
收敛，
收敛，所以
收敛．
，
，所以
收敛．
11. 证明级数
条件收敛. (5分)
【参考答案】 答案见解析. 【对应考点】 绝对收敛与条件收敛；交错级数；莱布尼茨定理；收敛级数的基本性质
【试题解答】
不妨设 ，当 充分大时， ， 为交错级数，由莱布尼兹判别法知它收敛．又由
【参考答案】 C 【对应考点】 交错级数
【试题解答】
令
．
，令
所以 单调递减，
因此
收敛．
，则
，所以
发散，则
， 条件收敛．
5. 级数
nmlkj 发散 nmlkj 条件收敛
， 其中 为常数 ． (5分)
nmlkj 绝对收敛 nmlkj 敛散性与 有关
【参考答案】 A 【对应考点】 一般常数项级数 【试题解答】
15. 证明级数
条件收敛. (5分)
【参考答案】 答案见解析. 【对应考点】 绝对收敛与条件收敛；交错级数；莱布尼茨定理；收敛级数的基本性质
【试题解答】 不妨设 ，当 充分大时， ，
为交错级数，由莱布尼兹判别法知它收敛．又由
知绝对值级数发散，因此原级数条件收敛.
收敛，则下列级数中哪一个必收敛 ． (5分) nmlkj nmlkj
【参考答案】 A 【对应考点】 一般常数项级数 【试题解答】
若 收敛，则
也必定收敛，由级数的性质可知
收敛．
令
， 收敛，但
发散，
也发散．
令
，则交错级数 收敛，
发散．
9. 若 nmlkj nmlkj
收敛，则下列级数中哪一个必收敛 ． (5分) nmlkj nmlkj
13. 设 收敛级数. (5分)
，
，证明
及
【参考答案】 答案见解析.
【对应考点】 交错级数
【试题解答】 由假设，有
，
，
，
因此知，交错级数
与
， 均收敛.
都是
14. 判别级数
的敛散性. (5分)
【参考答案】 收敛. 【对应考点】 交错级数；莱布尼茨定理 【试题解答】 该级数为交错级数，因
，
， 由莱布尼兹定理知该级数收敛.
姓名:
莱布尼茨定理(答卷)
学号:
专业班级:
题号
得分
总分
1. 关于级数
nmlkj
时，条件收敛
nmlkj
时，绝对收敛
的收敛性，下列说法正确的是 . (5分)
nmlkj
时，发散
nmlkj
时，条件收敛
【参考答案】 D 【对应考点】 一般常数项级数
【试题解答】
由
，
易见当 时，题设级数绝对收敛；
当
时，由莱布尼茨定理知
知绝对值级数发散，因此原级数条件收敛.
12. 证明级数
条件收敛. (5分)
【参考答案】 答案见解析. 【对应考点】 绝对收敛与条件收敛；交错级数；莱布尼茨定理；收敛级数的基本性质
【试题解答】 不妨设 ，当 充分大时， ，
为交错级数，由莱布尼兹判别法知它收敛．又由
知绝对值级数发散，因此原级数条件收敛.
，
令
，则
，
所以
发散．
6. 若 收敛，下列级数中收敛的是 ． (5分)
nmlkj
nmlkj
nmlkj
nmlkj
【参考答案】 D 【对应考点】 数项级数的判别法
【试题解答】 收敛，可得
，可设 ，当 时， ，则
，而 收敛，
所以 收敛．
令
，则 收敛，但
发散；
发散．
令
， ．则交错级数 收敛，
发散．
7. 设
，
，则级数
的收敛性，下列说法正确的是 . (5分)
nmlkj
时，发散
nmlkj
时，条件收敛
【参考答案】 D 【对应考点】 一般常数项级数
【试题解答】
由
，
易见当 时，题设级数绝对收敛；
当
时，由莱布尼茨定理知
收敛，但
发散，故题设级数条件收敛.
4. 级数
nmlkj 发散 nmlkj 条件收敛
． (5分)
nmlkj 绝对收敛 nmlkj 敛散性与 有关