概率论第二章随机变量以其分布第3节随机变量的分布函数

x
x
2
1 lim Fx lim A B arctanx A B
x
x
2
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§3 随机变量的分布函数
例 4（续）
解方程组
A A
2
B B
0 1
2
得解
A 1， B 1 ．
2
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练习一下
25
ex 设离散型随机变量 X 的分布函数为
0, x 1,
a,
1 x 1,
§3 随机变量的分布函数
概念的引入
• 对于非离散型随机变量X, 由于其可能取值不能一一列出 来。
• 我们通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数 值的概率都等于0（这一点在下一节将会讲到）。所以 我们对这些随机变量的任一取值的概率不感兴趣，而是 去考虑某一区间的概率。
• 实际问题研究的兴趣和需要（例如寿命T=102.33年、误 差 0.02m ）
F
(
x
)
2 3
a,
1 x 2,
a b, x 2.
且 P{ X 2} 1 ,试确定常数a,b,并求 X 的分布律. 2
[思路] 首先利用分布函数的性质求出常数 a, b, 再用已确定的分布函数来求分布律.
解 利用分布函数 F ( x) 的性质 :
26
P{ X xi } F ( xi ) F ( xi 0),
1
§3 随机变量的分布函数
1. 概 念
定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F(x) P{X x} 称为 X 的分布函数．
X
0x
x
F(x) P{X x}
对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有：
X
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
o
F(x2 ) F(x1).
14
§3 随机变量的分布函数
20 0 F (x) 1,且
F () lim F (x) 0; F (+) lim F(x) 1.
x
x+
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证明 F( x) P{X x}, 当 x 越来越小时, P{ X x}的值也越来越小, 因而当 x 时,有
lim F( x) lim P{X x} 0
x1
x2
x
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说明
(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率 情况。
(2) 分布函数 F (x) 是 x 的一个普通实函数 . 正是通过它， 我们将能用数学分析的 方法来研究随机变量。
(3) 如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么分布函数 F(x)在x处的函数值就表示X落在区间 (, x] 上的概率。
x
x
o
x
同样,当 x 增大时 P{ X x}的值也不会减小,而
X (, x), 当 x 时, X 必然落在 (,)内.
o
x
16
§3 随机变量的分布wenku.baidu.com数
30 F(x 0) F(x), 即 F(x)是右连续的.
1
-1 0 1 2 3 x
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§3 随机变量的分布函数 用分布函数计算某些事件的概率
F (x) P{X x} P{X 1} 1 . 4
X
X -1 2 3
-1 x ２ ３ x
pk
1 4
11 24
当 2 x 3时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1, 或 2
F (x) P{X x} P{X 1或X 2} 1 1 3 . 42 4
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§3 随机变量的分布函数
12 11 32
28
小结
1.离散型随机变量的分布函数
F ( x) P{ X x} pk .
xi x
2.分布律与分布函数的关系.
29
（2） 若0 x 2,由题意，
X
P{0 X x} k x2,
§3 随机变量的分布函数
取x 2,由已知得P{0 X 2} 1,与上式对比
得k 1 ,即P{0 X x} x2 .
4
4
于是，0 x 2时
F (x) P{X x} P{X 0} P{0 X x} x2 . 4
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§3 随机变量的分布函数
用分布函数计算某些事件的概率
Pa X b PX b PX a
Fb Fa 0 Pa X b PX b PX a
Fb 0 Fa Pa X b PX b PX a
Fb 0 Fa 0
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§3 随机变量的分布函数 用分布函数计算某些事件的概率
F () 1, 知 1 P{ X 2}
2 (a b) (2 a) 3 2a b 2 , 3
且 a b 1.
由此解得 a 1 , b 5 . 66
27
因此有
0,
1 ,
F
(
x
)
6 1
,
2
1,
从而 X 的分布律为
X 1
1
P
6
x 1, 1 x 1,
1 x 2, x 2.
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例3
§3 随机变量的分布函数
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§3 随机变量的分布函数 例 3（续）
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§3 随机变量的分布函数
例 4 设随机变量 X 的分布函数为
Fx A B arctan x x
试求常数A、B. 解： 由分布函数的性质，我们有
0 lim Fx lim A B arctanx A B
3
§3 随机变量的分布函数
2. 例 子
例 1 设随机变量 X 的分布律 为：
求 X 的分布函数.
X -1
pk
1 4
23
11 24
解：当 x <-1 时，满足 X x 的 X 的集合为 ，
F(x) P{X x} P{} 0.
X
x -1 0 ２ ３ x
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§3 随机变量的分布函数
当 1 x 2 时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1,
分别观察离散型、连续型分布函数的图象，可以看 出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质：
10 F (x) 是一个不减的函数．F(x)
即当x2 x1时， 1 F(x2 ) F(x1).
01 2 3
x
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证明 由 x1 x2 { X x1} { X x2 },
得 P{X x1} P{X x2}, 又 F ( x1) P{X x1}, F ( x2 ) P{X x2}, 故 F ( x1) F ( x2 ).
2
2
2
2 44 2
P{2 X 3}
F(3) F(2) P{X 2} 1 1 3 1 3,
42 4
-1 0 1 2 3
x
§3 随机变量的分布函数
分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 处有跳跃， 其跳跃值为 pk=P{X= xk}.
X -1
pk
1 4
23
11 24
1
1
14
2
1 4
-1 0 1 2 3
x
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离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量X 的分布律是
P{ X=xk } = pk ,
k =1,2,3,…
则 F(x) = P(X x) = pk xk x
由于F(x) 是 X 取 x 的诸值 xk 的概率之和，
故又称 F(x) 为累积概率函数.
（3） 若 x 2 , 则 {X x} 是必然事件，于是
F(x) P{X x} 1.
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§3 随机变量的分布函数
0,
F ( x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2,
x 2.
F(x) 1
01 2 3
x
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§3 随机变量的分布函数
3. 分 布 函 数 的 性 质
9
§3 随机变量的分布函数
例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上 任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比， 并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.
解：（1） 若 x < 0, 则 {X x} 是不可能事件，于是
F(x) P{X x} P() 0.
同理当 3 x 时,
F(x) P{X x} P{X 1或X 2或X 3} 1.
0, x 1,
F
(
x)
1
4 3
, ,
1 x 2, 2 x 3,
1
4 1, x 3.
-1 0 1 2
3
x
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§3 随机变量的分布函数
P{X 1} F(1) 1 ,
2
24
P{3 X 5} F(5) F( 3) 3 1 1 ,