第十三章 数学思想方法教学案例

第十三章数学思想方法教学案例
一、数学思想方法教学案例内容概括
数学教育的目的之一是通过数学学习体会数学的思想与方法，并用数学的思想与方法指导学习、工作和生活。

因此，教师系统地学习了数学思想与方法，在教学中有目的、有计划地应用数学思想与方法是很重要的。

本章内容就是通过具体案例来体现数学思想与方法，这一点也有利于正确理解数学思想与方法。

主要内容：
●化归方法教学案例中所体现的数学思想方法教学的特点；
●归纳猜想教学案例中所体现的数学思想方法教学的特点；
●数学模型方法教学案例中所体现的数学思想方法教学的特点。

下面选化归方法教学案例进行分析总结。

1．化归方法教学案例中所体现的数学思想方法教学的特点
化归方法就是把将要解决的问题化为已知的、或已经解决的问题的一种数学思想方法。

化归方法是数学家常用的方法，也是我们解决实际问题时有效的方法。

本章中举出的实际教学案例都是十分典型的化归方法，这些方法都很容易理解，学员们可以认真学习、体会。

在应用化归方法时要注意几点：
●化归方法的三个要素
（1）化归对象，对什么问题进行化归；
（2）确定化归目标，明确把化归对象化到哪一步、或化为何种形式；
（3）化归途径，即采取什么措施进行化归。

●注重教学目标的整合
把教学中的知识和思想方法目标、能力目标与情感目标进行了平衡与和谐的整合，使学生在获得知识的过程中掌握思想方法和学会学习，从而有效地促进自身的发展，并在发展过程中深化知识的理解、活化思想方法的应用。

教师设置的知识目标，是通过问题情境要求学生自主试验、探索梯形的面积，归纳概括出梯形面积公式；思想方法目标是通过展示数学化思考的过程，提炼出化归方法。

能力与情感目标，是要求学生能灵活利用梯形面积公式解决有关问题；能初步应用化归方法解决问题，并使学生认识化归方法在解决数学问题中的重要作用；开展数学化交流，要求学生能用准确、清楚的数学语言表达自己的思想；相互学习，取长补短，促进合作学习，培养团结合作精神，体验探索问题的成功喜悦和思考困惑的情感。

这些目标相互作用、相互促进共同达成教学的总目标。

●重视学生已有的知识经验
《数学课程标准》明确指出，要根据学生的年龄特征和教学要求，从学生熟悉的情境和已有的知识经验出发开展教学活动。

本案例正是从这一指导思想出发，把结合学生对图形的底和高的感性认识，利用图示再现推导平行四边形和三角形面积公式的方法（为学生领悟理解化归方法埋下伏笔），通过计算相关图形的面积来强化平行四边形和三角形面积公式的应用，作为教学的起点更加有效地激活了学生的数学思维，从而为学好化归方法打下了基础。

●重视研究教材，改进数学知识的呈现方式
《数学课程标准》明确指出：“教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者；要根据学生的具体情况，对教材进行再加工，有创造地设计教学过程”。

这为教师创造性地开展教学活动提供了广阔的空间。

案例“梯形的面积”对教材中数学知识的呈现方式进行了创造性地改造，教师并不是简单地要求学生背出平行四边形和三角形的面积公式，或回忆公式的推导方法，而是给出一系列问题让学生在解决问题中来活化公式和方法的应用。

新授课也不是教师把知识作为礼物送给学生，而是通过给出问题情境，强调了学生自主探究问题，即让学生自己在格点纸上画一个梯形图形，并以三角形的面积公式或平行四边形面积公式为依据，计算出这个梯形的面积，这就给予学生展示才能的用武之地和提供了更为广阔的思考空间，使学生的主体性得到了保证，把学生的自主学习、自主探索落实到教学实践中。

●展示学生火热的数学化思考
整个教学注重过程的展示，教师把学生火热的数学思考进行整理，师生共同分享学生的劳动成果。

这实质上就是尊重学生，允许学生对问题存在不同的理解，鼓励学生寻求解决问题的不同策略，更允许学生在解决问题中存在理解上的模糊、认识上的误区。

同时，充分体现了学生的主体性和学习的自主性，教师只是充当了学生学习的引导者和合作者，而不是权威者、传授者、课堂的主宰者。

●有层次地推进数学思想方法的教学
案例对化归方法的孕育采取循序渐进有层次地推进，在设置教学的起点和新课引入的问题情境中都蕴含了化归方法，在学生解决问题的过程中教师强调了将什么“化为”什么，为明晰化归方法埋下伏笔。

在反思学生的数学化思考的过程中提炼出化归方法，并引导学生及时加以掌握，再通过分析化归方法的三要素来深化理解化归方法。

当学生具备了化归方法的经验性知识后，教师进一步提出新问题，明确化归方法的应用，使学生感受化归方法在解决问题中的威力，领会数学思想方法的重要价值。

●重视学生探索数学问题的情感体验和数学化交流
在新课的导入过程中，教师给予了学生学习探究的自主权，让学生自己在格点纸上画出一个梯形并求出其面积，大胆地让学生自主地设计问题、获取解决问题的策略，丝毫没有把自己的想法强加给学生。

在学生的数学化交流过程中，教师及时加以鼓励性评价，使学生获得成功的喜悦和思考问题困惑的情感体验，也大大地增强了学生学好数学的信心。

●重视学法指导
在学生自主学习的过程中，教师启发、引导学生如何将求梯形面积问题化为求三角形或平行四边形的面积问题；如何恰当地对几何图形进行割、补、划分和等积变换处理；如何将文字或数字表述的梯形面积的算式上升到用字母符号来表示梯形的面积公式；引领学生开展合作学习取长补短，培养团结合作精神。

●有效地解决巩固与发展的问题
问题一要求学生根据给出的数据，求图13-1-14中各阴影部分图形的面积，起到了巩固所学的知识和熟练地运用化归方法解决问题的作用。

问题二要求从结论“三角形的内角和为180度”出发，试分别求出五边形、六边形、七边形、十边形的内角和，并进一步求出n边形的内角和，然后做好数学化交流的准备。

问题二中没有提示学生要用化归方法去解决，但实际上要求学生利用化归方法解决问题。

对学生而言这个问题是“求梯形面积问题”的一个变式，需要学生创造性地加以解决，并要求学生利用化归方法先解决特殊的问题，再通过观察、分析、归纳概括出一般性的结论。

这也为学生进一步学习抽象概括方法做好了准备，重视培养学生的数学化交流能力。

因此，案例很好地解决了巩固与发展的问题。

●进一步的思考
该案例反映了在经济发达地区的几所学校开展数学思想方法教学的实验情况。

由于上课教师对数学新课程标准进行了深入的学习和研究，自觉地把新课程的思想理念转化为自己的教学行为，并切实地贯彻到教学实践中去，同时，教师的教学经验丰富、教学能力强，学生的基础较好，这些都是达成较好效果的原因。

而对于经济欠发达、师资力量相对较为薄弱的地区或广大农村小学，可能面临的困难相对大一些，这就要求广大教师在学习、借鉴这个案例时，一定要从教学的实际情况出发，可自行增删内容、创设问题情境、调整顺序、降低坡度，把教材、案例作为教学资源创造性地加以利用，方能收到良好的教学效果。

2．归纳猜想教学案例中所体现的数学思想与方法教学的特点（
归纳猜想是小学数学教学中最常用的数学思想方法，请注意体会教材中关于特点的分析。

3．数学模型方法教学案例中所体现的数学思想方法教学的特点
二、学习重点、难点解析
重点：化归方法、归纳猜想、数学模型方法的教学案例。

难点：掌握化归方法、归纳猜想、数学模型方法教学案例中所体现的数学思想方法教学的特点是本章学习的难点。

化归方法、归纳猜想、数学模型方法教学案例除了体现数学思想方法的教学需要经历多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段，并遵循化隐为显、循序渐进、学生参与的教学原则外，还应关注下列几个方面的问题，就比较容易理解数学思想方法教学的特点：1．重视学生已有的数学知识、经验。

从案例背景可以知道，教师准确地把握了学生已有的数学知识、经验，并做到了有目的、有计划地开展数学思想方法的教学。

教师既重视研究学生、研究教材，又重视挖掘教材中隐含的数学思想方法，并不失时机地加以孕育。

这样，对同一种数学思想方法经过多次孕育后，再展开这种思想方法的教学就是水到渠成的事。

2．精心设计问题情境。

案例中教师所创设的问题情境，不论是探索梯形的面积，观察、归纳、猜想、验证加法和乘法的交换律，还是建立分数的模型；都能引起学生探究的好奇心和积极思考的兴趣，能有效地激发学生的学习动机。

同时，问题情境中引发的思考是学生通过一定的努力可以解决的，具有让学生自主学习数学知识、领会数学思想方法、获得解决问题策略的认识价值，其教学的目的性也是很强的。

3．数学思想方法教学目标的设置符合学生的认识规律。

由于小学生的思维发展是处于具体形象思维与抽象逻辑思维的过渡阶段，且主要是具体形象思维，因此，在小学开展数学思想方法的教学重在让学生领会思想方法的要领和重视思想方法的应用。

三个案例的教学设计都力求做到了不对学生作逻辑的、严格意义上的理解思想方法
含义的要求，不把主要精力放在纠缠思想方法的定义上，而是重视直观形象地理解思想方法，注重数学思想方法的简单应用，这就符合学生已有的数学知识、经验的实际情况。

如，在“归纳猜想”案例中，教师在阐述归纳猜想方法时不是用严格的逻辑语言表述，而是用自然语言并结合数学例子加以说明，如，归纳猜想的步骤是：第一步，归纳。

先从个别的、特殊的情况加以观察、分析（几个交换位置的加法、乘法等式），提炼出一个一般性的结论（位置交换，其和或积不变），即从特殊到一般的过程；
第二步，猜想。

对第一步的结论做出推测性的判断，提炼成一个结论（如，猜想“任意两个数或多个数相加，交换加数的位置，他们的和都不变”就是通过归纳后提出的结论），这个没有验证的结论就是一个猜想。

第三步，验证。

要判断我们得到的猜想是否正确，需要进一步验证（今后，我们就会明白需要逻辑证明才能判断猜想的正确性）。

而归纳猜想方法的教学设计也始终遵循多次孕育、初步理解、简单应用这一原则，在学生的知识经验复习准备中再次孕育归纳猜想方法，在寻求交换律的过程中凸现归纳猜想的本质要义，在回顾与思考中总结概括归纳猜想方法，在简单应用中让学生体验归纳猜想的价值，发挥归纳猜想在获取新知识、解决问题中的重要作用，并活化归纳猜想方法的应用。

这样就较好地解决了学生思维的具体形象的特点与归纳猜想方法的抽象特点之间的矛盾。

4．数学思想方法的教学做到有层次的推进。

化归方法、归纳猜想、数学模型方法教学案例都是以层层推进的形式加以孕育，规避一步到位的做法。

整个教学设计注重展示学生认知活动的过程，立足学生已有知识经验的实际状态，通过观察、探究、展示学生的数学思考、开展数学交流、归纳概括、回顾与思考，使学生亲历自主学习数学知识、提炼概括数学思想方法的全过程，使他们获得解决问题成功的喜悦和思考问题困惑的情感体验。

如，在“数学模型方法”案例中，教师从分月饼的现实问题情境出发，通过寻求解释1小块月饼与整个月饼的数量关系来建立数学模型，并及时点破阐述模型方法，要求学生利用已建立的模型反过来解释不同形式的分数，以及利用模型方法进行简单的推理，如，比较分数的大小，同一分数的不同表示方法等；模型方法的教学做到了有步骤、有计划地层层推进，使学生亲身经历了对实际问题进行抽象—建立数学模型—利用模型推理—应用数学模型的全过程。

5．把数学知识和数学思想与方法的学习有机地结合起来。

在要求学生掌握相关的数学知识、技能的同时，进一步要求学生掌握数学的思想方法，获得解决问题的策略。

让他们亲历自主探究的全过程，在知识的获得过程中掌握思想方法，增强数学的应用意识，在知识形成过程中促进发展，在发展的过程中巩固知识。

如，在“归纳猜想”案例中，教师花更多的时间关注学生的学习过程，有意识地引导学生亲历“观察—归纳—猜想—验证”这样一个做数学的过程，力求让学生自主获得“加法和乘法交换律”等知识，获得解决问题的归纳猜想方法，又使学生获得了学习数学的乐趣和体验成功的快乐感受。

6．重视学习方法的指导。

教师在引领学生自主获取数学知识的同时，要求他们回顾与反思解决问题的过程，让学生理解和认识面对一个实际问题时，应该怎样分析、解决？如何从中提炼出解决问题、获取新知识的思想方法和解题策略。

如，在“化归方法”案例中，教师启发、引导学生如何将求梯形面积问题化为求三角形或平行四边形的面积问题；如何恰当地对几何图形进行割、补、划分和等积变换处理；如何将文字或数字表述的梯形面积的算式上升到用字母符号来表示梯形的面积公式；引领学生开展合作学习取长补短，培养团结合作精神。

7．展示学生的数学思考，开展合作学习。

化归方法、归纳猜想、数学模型方法教学案例中，教师充分详尽地展示了学生火热的数学思考，认真听取学生的数学化交流，允许学生发表对问题的不同的想法。

如，在“模型方法”案例中，教师允许学生可以是动手操作、折纸演示、也可以画图构造出不同图形来加以佐证。

这里，教师的主导作用是赞赏学生的数学思考，鼓励学生寻求不同的解题策略，及时恰当地进行评价、调控教学节奏和教学进程，并恰到好处地进行学法指导，力求把学生的数学学习聚焦在数学思想方法的领会和获得解决问题的策略上，把探究知识的自主权交给学生。

这就是尊重学生，把体现学生的自主性落实到课堂教学的实践中，重视培养学生自主学习、积极思考的习惯；重视培养学生的实践能力和创新精神。

三、习题辅导
1．利用下列材料，请你设计一个“分类法”教学片断。

材料：
提示：所设计的教学片断要求（1）依据给定的材料设计一个学生动手操作的活动，让学生分一分，想一想，说一说，充分展示学生对分类的思考，交流各种不同分法的依据，并通过反思不同分法找出分类的标准；（2）体现教师引导学生归纳概括“分类方法”的过程，并开展学法指导，使学生获得“单一标准下分类方法”的策略。

2．假定学生已有了除法商的不变性知识经验，在学习分数的性质时，请你设计一个孕育“类比法”教学片断。

提示：所设计的教学片断要求：
（1）以小组合作探究的形式，让学生举例说明除法的被除数和除数与分数的分子和分母之间存在什么样的关系（相似关系）？商与分数又有什么关系（相似关系）？那么与被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数其商不变相似的结论又是什么呢？通过一系列层层递进式的问题情境，把学生的思维导向分数与商相似的特征上来，创设学生自主探究分数的性质的全过程；
（2）教学设计要体现教师引导学生归纳概括“分数的性质”的过程，并重视学习方法指导，使学生初步领会用“类比法”获取新知识的策略。

3．利用下列材料，请你设计一个“数形结合”教学片断。

材料：如图13-3-18所示，相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。

（1）分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列规律？（2）求出各图形外面一周的点子数、中间的点子数以及各图形的面积，找出一周的点子数、中间的点子数、各图形的面积三者之间的关系。

提示：所设计的教学片断要求
（1）对于第一个问题，体现教师引导学生观察图形的特点（可以是独立思考，也可以是小组讨论），然后组织学生交流各自的理解，师生共同（完全）归纳概括出规律的过程。

（2）对于第二个问题，要充分展示学生结合“数”与“形”来考察问题的思维过程。

教师所起的主导作用就是引导学生分析同一图中我们需要考察哪些“数”？由于这里涉及到三个方面的数量关系，教师同时还要进行学法指导，使学生获得这样的策略：当所要考察的图形的数量关系较复杂时，除了灵活运用数形结合方法外，还可用列表的形式来帮助分析。

4．利用下列材料，请你设计一个“不完全归纳法”教学片断。

材料：观察下面数列的特点，找出规律，并按规律填数。

（1）4，5，6，7，____，____。

（2）13，12，11，10，____，____。

（3）15，12，9，6，____，____。

提示：所设计的教学片断要求
（1）充分体现学生进行观察—不完全归纳—概括结论的探究过程。

（2）体现教师引领学生提炼“不完全归纳法”的认识过程，并充分展示学生的数学思考，使学生获得“通过观察、分析特例，进而归纳概括所要的结论或解决问题的经验或方法”的策略，以及学会利用“不完全归纳法”获取新知识、经验的策略。