重点高中数学选修22第三章复数测试题

重点高中数学选修22第三章复数测试题
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选修2-2第三章复数测试题
时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．i 为虚数单位，⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－i 1＋i 2＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 2．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( )
A ．－3
B ．3
C ．－3i
D ．3i
3．若复数z ＝(x 2－4)＋(x －2)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．－2或2 4.如右图，在复平面内，向量OP
→对应的复数是1－i ，将OP →向左平移一个单位后得到O 0P 0→，则P 0对应的复数为( )
A ．1－i
B ．1－2i
C ．－1－i
D ．－i
5．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )
A ．5－4i
B ．5＋4i
C ．3－4i
D ．3＋4i
6．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．i D ．2i
7.z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，
则z ＝( )
A ．1＋i
B ．－1－i
C ．－1＋i
D ．1－i
8．满足条件|z －1|＝|5＋12i|的复数z 在复平面上对应Z 点的轨迹是( )
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．圆
D ．椭圆
9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a c
b d ＝ad －b
c ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1z －1z i ＝4＋2i 的复
数z 为( )
A ．3－i
B ．1＋3i
C ．3＋i
D ．1－3i 10．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝a ＋(a ＋3)i ，且z 1z 2>0，则实数a 的值为( )
A ．0
B ．0或－5
C ．－5
D ．以上均不对 11．复数z 满足条件：|2z ＋1|＝|z －i|，那么z 对应的点的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线 12．设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i)等于( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分) 13．复数i 2(1＋i)的实部是__________．
14．复数z ＝2＋i
1＋i (i 为虚数单位)，则z 对应的点在第________象限．
15．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i
1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为
________．
16．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ＋，i 是虚数单位)是方程x 2－4x ＋5＝0的根．复数ω＝u ＋3i(u ∈R)满足|ω－z |<25，则u 的取值范围为________．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
18．(12分)计算：
(1)(2＋i )(1－i )21－2i ； (2)4＋5i (5－4i )(1－i )
.
19.(12分)已知复数z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i
，ω＝z ＋a i(a ∈R)，当⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
ωz ≤2时，求a 的取值范围． 20．(12分)在复平面内，复数z 1在连结1＋i 和1－i 的线段上移动，设复数z 2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数z 1＋z 2在复平面上移动范围的面积．
21.(12分)设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足z ·z ＋(1－2i)·z ＋(1＋2i)·z ≤3，求|z |的最大值和最小值．
22.(12分)关于x 的方程x 2－(1＋3i)x ＋(2i －m )＝0(m ∈R)有纯虚根x 1.
(1)求x 1和m 的值；
(2)利用根与系数的关系猜想方程的另一个根x 2，并给予证明； (3)设x 1，x 2在复平面内的对应点分别为A ，B ，求|AB |.
答案
1．A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i 2＝(1－i )2(1＋i )2＝－2i 2i ＝－1，故选A. 2．A z 2－2z ＝z (z －2) ＝(1＋2i)(2i －1) ＝－2－1＝－3.
3．A ∵z ＝(x 2－4)＋(x －2)i 为纯虚数， ∴{ x 2－4＝0，x －2≠0，⇒x ＝－2.
4．D 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道OP 0→，而OP 0→＝OO 0
→＋O 0P 0→，从而可求P 0对应的复数．
∵O 0P 0→＝OP →，OO 0→对应的复数是－1，
∴P 0对应的复数即OP 0
→对应的复数是－1＋(1－i)＝－i. 5．D 由a －i 与2＋b i 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1.所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.
6．B ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i. ∴z ·z ＝|z |2＝2.
∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.
7．D 设z ＝a ＋b i(a ∈R ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 由z ＋z ＝2，得2a ＝2，即a ＝1； 又由(z －z )i ＝2，得2b i·i ＝2，即b ＝－1. 故z ＝1－i.
8．C 本题中|z －1|表示点Z 到点(1,0)的距离，|5＋12i|表示复数5＋12i 的模长，所以|z －1|＝13，表示以(1,0)为圆心，13为半径的圆．注
意复数的模的定义及常见曲线的定义．
9．A 由定义，⎪⎪⎪⎪⎪⎪
1z －1z i ＝z i ＋z ，所以z i ＋z ＝4＋2i ，所以z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i.
10．C z 1z 2＝(a ＋2i)·[a ＋(a ＋3)i]＝(a 2－2a －6)＋(a 2＋5a )i ，由z 1z 2>0
知
z 1z 2为实数，且为正实数，因此满足{ a 2＋5a ＝0，
a 2－2a －6>0，
解得a ＝－5(a ＝0舍去)． 11．A 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则|2x ＋2y i ＋1|＝|x ＋y i －i|， 即(2x ＋1)2＋4y 2＝x 2＋(y －1)2， 所以3x 2＋3y 2＋4x ＋2y ＝0， 即⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋132＝59. 12．C ∵α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，∴α(i)表示满足i n
＝1的最小正整数n .
∵i 2＝－1，i 4＝1.∴α(i)＝4. 13.－1
解析：∵i 2(1＋i)＝－1－i ， ∴i 2(1＋i)的实部为－1. 14．四
解析：∵z ＝2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )2＝3－i 2＝32－12i ，∴复数z 对应点的坐标为32，－1
2，为第四象限的点．
15．8
解析：∵a ＋b i ＝11－7i
1－2i ，
∴a ＋b i ＝(11－7i )(1＋2i )
(1－2i )(1＋2i )
＝5＋3i.
根据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3， 故a ＋b ＝8. 16．(－2,6)
解析：原方程的根为x ＝2±i. ∵a ，b ∈R ＋，∴z ＝2＋i.
∵|ω－z |＝|(u ＋3i)－(2＋i)|＝(u －2)2＋4<25， ∴－2<u <6.
17．解：∴z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，
∴(1)由m 2－3m ＋2＝0，得m ＝1，或m ＝2， 即m ＝1或2时，z 为实数．
(2)由m 2－3m ＋2≠0，得m ≠1，且m ≠2， 即m ≠1，且m ≠2时，z 为虚数．
(3)由⎩
⎪⎨⎪⎧
2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－1
2， 即m ＝－1
2时，z 为纯虚数．
18．解：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i ＝2(1－2i )
1－2i ＝2.
(2)4＋5i (5－4i )(1－i )＝(5－4i )i
(5－4i )(1－i )
＝i
1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝i －12 ＝－12＋12i.
19．解：∵z ＝2＋4i －(1＋3i )i ＝1＋i
i ＝－i(1＋i)＝1－i ， ∴ω＝1＋(a －1)i ， ∴ωz ＝1＋(a －1)i 1－i
＝[1＋(a －1)i](1＋i )2＝2－a ＋a i 2
. 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪
ωz ≤2，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22≤2， 解得1－3≤a ≤1＋ 3.
故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．
20．解：设ω＝z 1＋z 2，z 2＝ω－z 1，|z 2|＝|ω－z 1|，∵|z 2|＝1，∴|ω－z 1|＝1.
上式说明对于给定的z 1，ω在以z 1 为圆心，1为半径的圆上运动， 又z 1在连结1＋i 和1－i 的线段上移动，
∴ω的移动范围的面积为：S ＝2×2＋π×12＝4＋π.
21.解：z ·z ＋(1－2i)·z ＋(1＋2i)·z ≤3 ⇒x 2＋y 2＋(1－2i)(x ＋y i)＋(1＋2i)(x －y i)≤3
⇒(x ＋1)2＋(y ＋2)2≤8，即|z ＋1＋2i|≤22，所以复数z 对应的点的集合是以C (－1，－2)为圆心，22为半径的圆面(包括边界)．
又因为|OC |＝5<22，所以，原点在圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8的内部，如下图．
所以，当z ＝－5＋2105－10＋410
5i 时，|z |max ＝5＋22；当z ＝0时，|z |min ＝0.
22．解：(1)由题意，设x 1＝b i(b ≠0且b ∈R)，代入方程，得(b i)2
－(1＋3i)·b i ＋(2i －m )＝0，即－b 2－b i ＋3b ＋2i －m ＝0，即(－b 2＋3b
－m )＋(2－b )i ＝0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
－b 2＋3b －m ＝0，2－b ＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝2，
m ＝2.所以x 1＝2i ，m ＝2.
(2)由根与系数的关系知x 1＋x 2＝1＋3i ，所以x 2＝1＋3i －x 1＝1＋3i －2i ＝1＋i.
证明：把x 2＝1＋i 代入原方程的左边，得(1＋i)2－(1＋3i)(1＋i)＋(2i －2)＝2i －(－2＋4i)＋(2i －2)＝0，所以x 2＝1＋i 是方程x 2－(1＋3i)x ＋(2i －2)＝0的根．
(3)由(1)，(2)知，A (0,2)，B (1,1)， 所以|AB |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.。