高三数学解三角形的实际应用举例PPT教学课件
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（精确到0.01米（ 想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
B
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
解：在BC1D1中,C1BD1 604515,
由正弦定理可 : 得 C1D1 BC1 sinB sinD1
A1
C1
D1
（A（ 南偏西 43°7‘
（B（北偏东43°7'
（C（ 北偏西 46°53‘
（D（ 南偏西46°53'
（2（有一长为10米的斜坡，它的倾斜角为，在不改变坡高和 坡顶的前提下，通过加长坡面的方法，将它的倾斜角改为，则 坡底要延长 （ C （ （A（ 5m （B（ 10m （C（10 2 m （D（1 0 3 m
2、方向角：指北或指南方向 线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫方向角， 如图
解应用题的一般步骤
3、1.坡审度题与坡角:坡面与水 平面的夹角叫坡角，坡面 与垂直高度 h和水平宽度l
i
h l
tana
的比叫坡度
h
a
l
自主测评
（1（在某次测量中，A在B 的北偏东43°7', 则B在A 的 （ C （
夹角为6 2 0 ，AC长为1.40m，计算BC的长度（结果精确到
0.01m（．
（1（什么是最大仰角？ （2（例题中涉及一个怎样的三角 形？在△ABC中已知什么，要求什么？
最大角度
实例讲解
分析：这个问题就是在ABC
C
中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,
B 6 A 6 0 2 C ' 6 0 2 '6 0 1.40m
试一试：
从地平面A、B、C 三点测得某山顶的仰角均为 15°，设 ∠BAC=30°,而BC=200 m.求山高（结果精确到0.1 m（
例题讲解：测量高度 例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是 45和
60，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。
（A（ 100 m （C（ 50( 3 1) m
（B（5 0 3 m （D（50( 31) m
2、已知两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观 察站C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B 的距离为
3、如图，在山底测得山顶仰角∠CAB=45°，沿倾斜角为30°的斜坡 走1000m至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 （ （ （A（ 1000m （B（ 1100m （C（ 1200m （D（1300m
3（（如图，在200 m 高的山顶A处，测得山下一塔顶AC
E
与塔底D的俯角分别是30ْ ，60ْ ，则塔高是4 0 0
3
米。30°
D
B
C
wk.baidu.com
例题讲解：测量距离与边长
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度（如图（．已知车厢的最大仰角为60°，油 泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
1、正弦定理
a b c 2R sinA sinB sinC (其中R为外接圆的半径)
2、余弦定理
a2 b2c22bccosA b2 a2c22accosB c2 a2b22abcosC
解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念： 在测量时，在同一铅垂面的水 平线和目标视线的夹角，视线在 水平线上方的角叫仰角，在水平 线下方的角叫做俯角。如图：
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知
与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余
弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为： 实际问题 画图形
总结提升
(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为 数学问题，即数学建模思想。
(2)解决实际应用问题的步骤
实际问题
分析转化
检 验
数学问题（画出图形）
数学结论
解三角形问题
能力拓展
1、如图，B、C、D在地平面同一直线上，DC=100 m,从D、C两地测得 A的仰角分别为30°和45°，则点A离地面的高AB等于 （ （
求BC的长，由于已知ABC
的两边和它们的夹角，所以可
60
根据余弦定理求出BC。
A
620'
解：由余弦定理，得
1.95m
B
B 2 A C 2 A B 2 2 C A A B cC A os
1.9251.42021.9 51.4 0co6s6 2'0
3.571
BC 1.8(9 m )
答：顶杠BC长约为1.89m.
数学模型
实际问题的解
解 三 角 形 检验（答（
数学模型的解
C
D
A
BC1
C1D1 s i nD1 sinB
12sin120 sin15
18266
A 1 B 2 2B C 1 1 8 63 2 8 .3 9 2
A B A 1 B A A 1 2 8 . 3 9 1 . 5 2 9 . 8 9 ( m )
答：烟囱的高为 29.89m.
试一试：
如图所示,在加工缝纫机挑线杆时，需要计算A，C两孔中心 的距离，已知BC=60.5 mm, AB=15.8mm ,∠ABC=80°,则 AC= mm（结果精确到 0.01 mm（
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
B
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
解：在BC1D1中,C1BD1 604515,
由正弦定理可 : 得 C1D1 BC1 sinB sinD1
A1
C1
D1
（A（ 南偏西 43°7‘
（B（北偏东43°7'
（C（ 北偏西 46°53‘
（D（ 南偏西46°53'
（2（有一长为10米的斜坡，它的倾斜角为，在不改变坡高和 坡顶的前提下，通过加长坡面的方法，将它的倾斜角改为，则 坡底要延长 （ C （ （A（ 5m （B（ 10m （C（10 2 m （D（1 0 3 m
2、方向角：指北或指南方向 线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫方向角， 如图
解应用题的一般步骤
3、1.坡审度题与坡角:坡面与水 平面的夹角叫坡角，坡面 与垂直高度 h和水平宽度l
i
h l
tana
的比叫坡度
h
a
l
自主测评
（1（在某次测量中，A在B 的北偏东43°7', 则B在A 的 （ C （
夹角为6 2 0 ，AC长为1.40m，计算BC的长度（结果精确到
0.01m（．
（1（什么是最大仰角？ （2（例题中涉及一个怎样的三角 形？在△ABC中已知什么，要求什么？
最大角度
实例讲解
分析：这个问题就是在ABC
C
中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,
B 6 A 6 0 2 C ' 6 0 2 '6 0 1.40m
试一试：
从地平面A、B、C 三点测得某山顶的仰角均为 15°，设 ∠BAC=30°,而BC=200 m.求山高（结果精确到0.1 m（
例题讲解：测量高度 例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是 45和
60，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。
（A（ 100 m （C（ 50( 3 1) m
（B（5 0 3 m （D（50( 31) m
2、已知两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观 察站C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B 的距离为
3、如图，在山底测得山顶仰角∠CAB=45°，沿倾斜角为30°的斜坡 走1000m至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 （ （ （A（ 1000m （B（ 1100m （C（ 1200m （D（1300m
3（（如图，在200 m 高的山顶A处，测得山下一塔顶AC
E
与塔底D的俯角分别是30ْ ，60ْ ，则塔高是4 0 0
3
米。30°
D
B
C
wk.baidu.com
例题讲解：测量距离与边长
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度（如图（．已知车厢的最大仰角为60°，油 泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
1、正弦定理
a b c 2R sinA sinB sinC (其中R为外接圆的半径)
2、余弦定理
a2 b2c22bccosA b2 a2c22accosB c2 a2b22abcosC
解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念： 在测量时，在同一铅垂面的水 平线和目标视线的夹角，视线在 水平线上方的角叫仰角，在水平 线下方的角叫做俯角。如图：
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知
与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余
弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为： 实际问题 画图形
总结提升
(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为 数学问题，即数学建模思想。
(2)解决实际应用问题的步骤
实际问题
分析转化
检 验
数学问题（画出图形）
数学结论
解三角形问题
能力拓展
1、如图，B、C、D在地平面同一直线上，DC=100 m,从D、C两地测得 A的仰角分别为30°和45°，则点A离地面的高AB等于 （ （
求BC的长，由于已知ABC
的两边和它们的夹角，所以可
60
根据余弦定理求出BC。
A
620'
解：由余弦定理，得
1.95m
B
B 2 A C 2 A B 2 2 C A A B cC A os
1.9251.42021.9 51.4 0co6s6 2'0
3.571
BC 1.8(9 m )
答：顶杠BC长约为1.89m.
数学模型
实际问题的解
解 三 角 形 检验（答（
数学模型的解
C
D
A
BC1
C1D1 s i nD1 sinB
12sin120 sin15
18266
A 1 B 2 2B C 1 1 8 63 2 8 .3 9 2
A B A 1 B A A 1 2 8 . 3 9 1 . 5 2 9 . 8 9 ( m )
答：烟囱的高为 29.89m.
试一试：
如图所示,在加工缝纫机挑线杆时，需要计算A，C两孔中心 的距离，已知BC=60.5 mm, AB=15.8mm ,∠ABC=80°,则 AC= mm（结果精确到 0.01 mm（