柯西不等式与排序不等式

由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4 x2 9 y2的最小值为1 , 最小值点为( 1 , 1 )
2
46
补充例1
已知x,
y,
a,
b
R
,
且
a x
b y
1, 求x y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
一、二维形式的柯西不等式
定理1 (二维形式的柯西不等式) 若a,b, c, d都是
定理2 (柯西不等式的向量形式)
设 , 是两个向量,则 .
当且仅当 是零向量,或存在实数k,
使 k 时,等号成立.
注：若 ( x1, y1)， ( x2, y2 ) ，则
cos ,
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
定理 1(二维形式的柯西不等式)
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西 不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方 法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养
例3 求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式引申:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4 x2 9 y2 )(12 12 ) (2 x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
| y1 - y2 |
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
O
P2 (x2 , y2 )
| x1 - x2 |
x
定理3 (二维形式的三角不等式) 设x1, y1, x2, y2 R,
那么 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
证明: ( x12 y12 x22 y22 )2
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
小结:
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2(a,b,c,d R) 当且仅当ad bc时,等号成立.
x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
三 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
例 2:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简 洁明了！解答漂亮！
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
P1 (x1 , y1 )
y
P1(x1, y1)
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd (3) a2 b2 c2 d 2 ac bd
(4)柯 西 不 等 式 的 向 量 形 式 .
当 且 仅 当 是 零 向 量, 或 存 在 实 数k, 使 k 时, 等 号 成 立.
(5) (二维形式的三角不等式 ) 设x1, y1, x2 , y2 R, 那么 x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
a x
2
b y
2
当 且 仅 当 x b y a ,即 x a 时 取 等 号.
y
xy b
( x y)min ( a b )2
补充例 2:已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1x2
实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2
当且仅当ad bc时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明？
二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a2 b2 c2 d 2 Biblioteka Baiduac bd
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
例1 已知a,b为实数,证明(a4 b4)(a2 b2) (a3 b3)2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22
x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22
x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22
x 12
2 x1x2
x22
y12
2 y1 y2
y
2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2