高等代数课件 第六章

乘法的性质：
(b1) (ab)V a(bV )，a，b F.
(b2) a(U V ) aU aV. (b3) （a b)U aU bU.
(b4) 1u= u 对所有u属于V.
三、 一些例子
例3 按照定义1，F mn 是数域F上的向量空间，称为
矩阵空间.
（1） F1n , F n1 统称为ｎ元向量空间，统一用符号 F n表示.
例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为： a b ab, k a ak , a,b R, k R
证明 R 关于给定的运算构成R上的向量空间.
证明：略
例8 在 R2 上定义加法和数乘：
(a,b) (c, d) (a c,b d ac) k (a,b) (ka, kb k(k 1) a2 )
C不在 上，l1 因此 不能l1 作成 的V子3 空间。同样， 不过原点的平面也不能作成 的子V空3 间。
两个子空间的和的概念也可以推广到任意有限
的子空间的情形. 设W1,W2,…，Wn是V 的子空间.容
n
易证明, 一切形如 i,i Wi的向量作为V 的一个 i 1
子空间, 这个子空间称为子空间W1,W2,…，Wn的和, 并且用符号W1+W2+…+Wn来表示.
例6 闭区间[a,b]上一切可微分函数作成C [a,b]的 一个子空间。
例7 设 Amn (aij ), aij F
x1
(1) 把满足AX = 0的解X表示为
X
x2
，X
Fn
记AX = 0的解集为 VA,0 {X F n | AX 0}，证 x明n VA,0 是向
量空间 F n 的一个子空间。
中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W 对于V
的加法是封闭的.
同样，如果对于W中任意向量α和数域F中任意
数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与向量的
乘法是封闭的.
定理6.2.1 设W是数域F上向量空间V的一个 非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量乘法 是封闭的，那么本身也作成上一个向量空间.
例3 在空间V2里，平行于一条固定直线的一切向 量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平行于一 条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作成V3的 子空间(6.1,例1)。
例4 F n中一切形如
(1,2 ,,n1,0),i F
的向量作成 F n的一个子空间。
例5 F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项 式全体连同零多项式一起作成F [x]的一个子空间。
（2） Rn是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常
用的一类. ……
例4 数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数 乘构成F上的向量空间，称为多项式空间.
证明：根据多项式加法和数乘的定义，
(1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x)F[x]. (2) af(x) F[x]，任给 aF，f(x)F[x]. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x) F[x].
空间 M n (F)的非空子集。又中M n (F) 的运算是矩阵的
加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积 仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U是
的 M n (F) 一个子空间。
W {A M n (F) | | A | 0}不是 M n (F) 的子空间， 因为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 I (I ) O W
类似的问题许多，……，有必要总结它们的 共性：
二、 向量空间的定义
定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们 把V中的元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条 件成立：
闭合性： (1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于 V, 一定有u+v属于V. (2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算， 即：对任意F中数a 和V中元素v, 一定有： av属于V.
2
证明 R2 关于给定运算构成R上的向量空间.
证明：留作课外练习.
四、简单性质
（1） 零向量0是唯一的. （2） 一个向量v的负向量是唯一的，用（- v）表示.
（3） 0v＝0，a 0＝0. （4） a (-v)= aV (aV )
（5） aV 0 a 0，或V 0.
6.2 子空间
一、内容分布
i
的交。如同上面一样可以证明，也是V的一个子空间.
注 作为子集的二个子空间W1与W2 的并集， 一般说来不是子空间，现在考虑V的子集。
W1 W2 {1 2 | 1 W1,2 W2}
由于0∈W1，0∈W2，所以0=0+0∈W1+W2，因此 W1+W2≠ф。设a, b∈F, α,β∈W1+W2, 那么,
所以 X1 X 2 VA,0 ，对于任何 a F, X VA,0,
有A(aX ) a( AX ),即aX VA,0 。故 VA,0 对于F n的两种 运算封闭，VA,0 是向量空间 F n 的一个子空间。
（2）易知，在β≠0 的时候， VA不, 一定是 F的n
子空间。因为对任何 X ,Y VA, ，都有A (X + Y) = AX
加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足： u+v= 0. 这样的u称为v的负向量.
6.2.1 子空间的概念 6.2.2子空间的交与和. 二、教学目的 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的 子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 三、重点、难点 子空间的判别，子空间的交与和．
一、 子空间的概念
设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空 子集.对于W 中任意两个向量α，β，它们的和α+β是 V中一个向量. 一般说来，α+β不一定在W 内.如果W
命题2 设W1，W2是向量空间V的二个子空间，那 么它们的交W1+W2也是V的一个子空间.
例8 在 V3中，终点位于过原点的同一条直线l上的所 有向量作成 V3 的子空间W。为叙述简便，也说W就 是过原点的直线 l ，直线 l 是 V3的子空间（图6-2-
1）。这样，V3 中过原点的直线都是 V3 的子空间。 同理，V3 中以过原点的平面π上的点为终点的所有 向量作成 V3 的子空间。这样，过原点的平面都是 V3
第六章 向量空间
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
§6.1 向量空间的定义和例子
一、 引例——定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 F mn 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
1. A+B=B+A
来自百度文库
5. a(A+B)= aA+Ab
2. (A+B)+C= A+( B+C) 6. (a+b)B=a B +Bb
3. O＋A=A
7. (ab)A=a(b)A
4. A+(-A)=O
还有一个显而易见的：
8. 1A＝A
例2 设R是实数域，V3表示空间向量的集合. 两个向量可以作加法（平行四边形法则），可以 用R中的一个数乘一个向量，加法和数乘满足同样 的8条性质. 按照解析几何的方法，向量可以用 的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都有表达 式，……
+AY =β+β≠β，故
V对A, 的F加n 法不封闭。
定理6.2.2 向量空间W的一个非空子集W是V 的一个子空间的充要条件是对于任意a,b∈F和任意 α,β∈W，都有aα+bβ∈W
二、子空间的交与和
命题1 设W1，W2是向量空间V的二个子空间， 那么它们的交W1∩W2也是V的一个子空间.
一般，设 {Wi }是向量空间V的一组子空间（个 数可以有限，也可以无限）.令 Wi 表示这些子空间
定义1 令W是数域F上向量空间V的一个非空 子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来
说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间.
由定理6.2.1，V的一个子空间也是F上一个向量 空间，并且一定含有V的零向量。
例1 向量空间V总是它自身的一个子空间。另 一方面，单独一个零向量所成的集合{0}显然对于V 的加法和标量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一 个子空间，称为零空间。
(2) 记AX = β的解集为 VA, {X F n | AX }, VA,
是否也是 F n 的一个字空间？这里 F n , 0
0
证明
（1）首先，0
0
F
，n 且A0
=
0，所以
VA,0 .
0
其次，如果 X1, X 2 VA,0 , 即X1, X 2 F n ,
且AX1 0, AX 2 0, 那么 A(X1 X 2 ) AX1 AX 2 0,
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
任给f(x),g(x),h(x) F[x].
(a3) 0向量就是零多项式. (a4) f(x)的负向量为（- f(x)）. (b1) (ab) f(x)= a(bf(x)).
(b2) a[f(x)+g(x)]= af(x)+ ag(x). (b3) (a b) f(x)= af(x)+ b f(x).
线性表示，因为
0 01 02 0r
二、 线性相关与线性无关
定义2 设1,2,,r是向量空间V的r个向量。
如果存在F中不全为零的数a1, a2,, ar 使得
（1） a11 a22 arr 0
那么就说 1, 2 ,, r线性相关.
如果不存在F中不全为零的数 a1, a2,, ar 使得等式 （1）成立，即等式（1）仅当 a1 a2 ar 0
(b4) 1 f(x)= f(x).
例5 C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通 常的加法与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数 空间.
证明：比照例3，给出完整步骤.
例6 （1）数域F是F上的向量空间；（2）R是Q 上的向量空间，R是否为C上的向量空间？
注2：这个例子说明向量空间与F有关.
一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空 间。V的非平凡子空间叫做V的真子空间。
例2 U {A (aij ) M n (F) | aij 0,i j时}
是不是 M n (F) 的子空间？ W {A M n (F)| A | 0}是不是 M n (F)的子空间？
解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量
1 2, 1 2,1, 1 W1,2, 2 W2 因为
W1,W2都是子空间,所以 a1 b1 W1 ,
a2 b2 W2 ,于是 a b a(1 2 ) b(1 2 )
(a1 b1) (a2 b2 ) W1 W2
这证明了W1+W2是V 的子空间,这个子空间叫做W1与W2 的和.
三、重点、难点
线性相关性（无关）、向量组的极大线性无关组等概 念，替换定理的证明．
一、 线性组合与线性表示
定义1 设1,2,,r是向量空间V的r个向量，
是数a1域, aF2中, 任, a意r r个数. 我们把和
a11 a22 arr
叫做向量 1, 2 ,, r的一个线性组合.
如果V 中某一向量可以表示成向量1,2,,r 的线性组合，我们也说可以由 1,2,,r 线性表 示. 零向量显然可以由任意一组向量 1,2,,r
6.3 向量的线性相关
一、内容分布
6.3.1 线性组合与线性表示 6.3.2 线性相关与线性无关
6.3.3 向量组等价 6.3.4 向量组的极大线性无关组
二、教学目的
1．准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别．
2．理解向量组的等价及极大无关组的概念． 3．掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法．
的子空间（图6-2-2）。
zl
o x
图6-2-1
z
π
y
o
x
图6-2-2
α+β
z
α
l1
β
y o
y
x
图6-2-3
l1
yβ
α
l2
oγ x
图6-2-4
不过原点的直线不能作成 V3 的子空间，如图6-2-3
所示，l1为不过原点的直线，以 l1 上两点A，B为终
点的向量α，β的和α+β按平行四边形法则 ，其终点