2019-2020年清华大学微积分(高等数学)课件第13讲_不定积分(一)课件

(2) 求 f ( x)过(0, 1)点的积分曲线.
[解] (1) 不是！
因为g( x)在点x 0处不连续
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(2) 首先要求f ( x)的积分曲线族
分段积分，得
G(
x)

cos


1 2
x
x C1 2 C2
若G( x)是 f ( x)在 R 上 的 原函 数
[证] （1） 证 明F ( x) C是f ( x)在 I 上 的
一个原函数
[F( x) C] F( x) f ( x) x I
F( x) C 是 f ( x)在 I 上的一个 原函数
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（2）证明f ( x)在 I 上的任意一个原函数 都可以表示为F( x) C的形式
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积分曲线与积分曲线族
y
y F(x)
积分曲线
o
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y F(x) C 积分曲线族
x
x10
[例3]
设
sin x
f (x)
x
x0 x0
cos x C x 0
g(
x)


1 2
x
2

C
x0
(1) 问：g( x)是 f ( x)的不定积分吗？

1

C
x0 13
cos x C
即
y

G(
x)

1 2
x2

1
C
是f ( x)的积分曲线族
x0 x0
令 x 0,G(0) 1, 得 C 0
cos x
x0
y

F
(
x)

1 2
x2

1
x0
是 f ( x)过(0, 1)点的积分曲线
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（2） 从物理问题看
已 知 运 动 规 律S S(t ), 要 求 瞬 时 速 度 v(t) ?
求 导 数 ：v(t ) S(t ) 反 问 题:
已 知 瞬 时 速 度v(t ), 要 求 运 动 规 律 S S(t) ?
求 原 函 数: S(t ), 使 S(t ) v(t )
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（一）原函数的定义
设 f ( x) 在区间I 上有定义.若另有一个 可导函数F ( x), 使 x I , 都有
F ( x) f ( x) 或 dF( x) f ( x)dx 则称F ( x)是 f ( x)在 I 上的一个原函数.
[例1] F ( x) x3 是 f ( x) 3x2
一个函数若存在一个原函数， 则它必有无穷多个原函数。
关于原函数有两个理论问题:
（a）原函数的存在问题
结论: 若函数 f ( x) 在区间I 上连续,
则f ( x)在区间I 上存在原函数.
（b）原函数的结构问题
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[定理1] 若F ( x)是 f ( x)在区 间I上的 一个 原函 数, 则 F ( x) C 是 f ( x) 的全 体 原函 数,其 中C为任 意常 数.
作业
P129 习题5.2 1(1). 6. 9.
P133 习题5.3 1(3)(6)(9). 2(3)(5)(11). 3(3)(7)(9)(10). 4(3)(8).
预习：P135—141
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第十三讲 不定积分（一）
一、原函数与不定积分概念 二、基本积分表 三、凑微分法
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G( x)在 x 0连续
x0 x0
lim G(x) lim G(x) G(0)
x0
x0
cos x C

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G(
x)

1 2
x2

1
C
x0 x0
C2 1 C1
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当x 0时, G( x) sin x
当x 0时, G( x) x
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一、原函数与不定积分概念
（1） 从运算与逆运算看
初等数学中加法与减法、乘法与除法、 乘方与开方等，都是互逆的运算。
微分运算是对一个可导函数求导数。 微分运算的逆运算是什麽？
问题：已知函数f ( x),要求这样一个函数
F( x),使 F( x)的导函数正是f ( x). 这就是求原函数和不定积分的运算。
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（三）不定积分的性质
（1） 不定积分与微分互为逆运算
(1) ( f ( x)dx) f ( x) d( f ( x)dx) f ( x)dx
(2) f ( x)dx f ( x) C
df ( x) f ( x) C
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（2） 线性运算性质
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（二）不定积分的定义
设 f ( x) 在 区 间I 上 存 在 原 函 数F ( x),
则其 原 函 数 的 全 体F ( x) C 称 为 f ( x)
在 区 间I 上 的 不 定 积 分.
记作:
被积函数
积
积
分
分
f ( x)dx F ( x) C 常
号
数
wenku.baidu.com积分变量
设G( x)是 f ( x)在 I 上的任何一个原函数
[G( x) F ( x)] G( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0 x I
由拉格朗日中值定理的推论知 G( x) F( x) C x I
即 G( x) F( x) C x I
又
G (0)

lim
x0
cos x x
1

0
1 x2 11

G (0)

lim
x0
2
x
0
G(0) 0
于是G( x)在(, )上可导, 且 G( x) f ( x)
cos x C x 0

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f
(
x)dx


1 2
x2
(3) [ f ( x) g( x)]dx g(x)dx g( x)dx
(4) kf ( x)dx k f ( x)dx 综合(3)(4) [k1 f1( x) k2 f2( x)]dx
在区间( , )上的一个原函数.
[例2] F ( x) arcsin x 是 f ( x) 1 1 x2
2019/9/21 在区 间(1, 1)上 的 一 个 原 函 数.
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c R, ( x3 c) 3x2 ( x3 c) 也是3x2 在 R上的原函数.