分析力学
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Chapter 5 分析力学
分析力学用新的观点、新的方法处理 力学问题，具有更高的概括性，是力学理论 发展的更高阶段，而这一发展是与充分利用 了数学分析这一有力的数学工具是分不开的。 分析力学注重的物理量不是力和加速度，而 是功和能。从数学上讲，处理对象从矢量转 变为标量，处理方法也从几何方法转变为数 学分析的方法。
i 1
光滑曲线、光滑曲面、光滑铰链、刚性 杆、不可伸长的绳等都是理想约束。
三、虚功原理
设某力学体系受有k个几何约束，处于平
衡状态，取体系中任一质点Pi，并设作用在 此质点上主动力的合力为Fi，约束反力的合 力为Ri，因为此体系中每一质点都必须处于 平衡状态，故必须有：
Fi Ri 0
(i 1.2n)
质点自它的平衡位置发生一虚位移δri
Fi ri Ri ri 0 (i 1.2n)
对所有质点求和： n
n
Fi ri Ri ri 0
i 1
i 1
n
对理想约束：
Ri ri 0
wenku.baidu.com
i 1
因此力学体系处于平衡状态时，其平衡条件是：
或：
n
W Fi ri 0 i 1
n
W (Fixxi Fiyyi Fizzi ) 0 i 1
在稳定约束下，实位 移是许多虚位移里面的一 个，但对不稳定约束，实 位移与虚位移并不一致 。
二、理想约束
虚功——作用在质点上的力（包括约束 反力）在任意虚位移中所做的功。
理想约束 ——如果作用在一力学体系上 的诸约束反力在任意虚位移中所做的虚功之 和为零。这种约束叫做理想约束。
n
Ri ri 0
2）约束的分类
a) 稳定约束和不稳定约束
稳定约束——如果限制系统位置的约束不是 时间t的函数，则约束方程中不显含时间t，即：
f (x.y.z) 0
不稳定约束——如果约束是时间t的函数，则 约束方程显含时间t，即：
f (x.y.z.t) 0
例如：当一质点和长为l的刚性杆相连时，如 刚性杆的上端固定不动，取此点为坐标原点，则
约束方程：x 2 y 2 z 2 l 2 ——稳定约束
如果杆的上端沿水平直线(x轴)以匀速运动， 并取该直线上某定点为坐标原点，则约束方程 为：
(x ct)2 y 2 z 2 l 2 ——不稳定约束
b)可解约束和不可解约束 不可解约束——质点始终不能脱离某曲面
（或曲线）的那种约束。
f (x.y.z) 0 f (x.y.z.t) 0
n
W Fi ri 0 i 1
受有理想约束的力学体系平衡的充要条 件是：力学体系所受到的的诸主动力在任意 虚位移中所做的元功之和等于零。叫做虚功 原理，也叫虚位移原理。
优点——利用虚功原理解理想约束的力 学体系的平衡问题时，由于约束反力自动消 去，故可很简单地用它去求主动力在平衡时 所应满足的条件，即所谓平衡条件。
Chapter 5 分析力学内容
§5.1 约束和广义坐标 §5.2 虚功原理 §5.3 拉格朗日方程 §5.4 小振动 §5.5 哈密顿正则方程 §5.6 哈密顿原理 §5.7 泊松括号和泊松定理
本章基本要求：
深刻理解约束、虚位移和广义坐标的概念；掌 握拉格朗日函数和哈密顿函数的写法；牢固掌握虚 功原理和拉格朗日方程并能熟练应用；掌握能量积 分的条件；能应用正则方程解决简单的力学问题； 对哈密顿原理着重理解其思维方法；了解泊松括号 和泊松定理。
或写成矢量式：
ri ri (q1.q2 qs .t) (i 1.2n, s 3n)
广义坐标，它不一定是长度，可以是角度或 其它物理量，例如：面积、体积、电极化强度、 磁化强度等。
§5.2 虚功原理
一、实位移与虚位移
实位移：质点由于运动实际上所发生的 位移（由于时间 t 发生变化所致）以 dr 表之。
可解约束 f (x.y.z) c 运动约束（不可积） f (x.y.z.x.y.z.t) 0
凡只受有完整约束的力学体系叫完整系。同 时受有完整约束与不完整约束的力学体系，或只 受有不完整约束的力学体系都叫不完整系。
二、广义坐标
在力学体系只受几何约束的情形下，独立坐 标的数目叫做力学体系的自由度。用来表示这些 独立变量的参数叫广义坐标（也叫拉格朗日广义 坐标），通常用 q 表示。
虚位移：是想象中可能发生的位移，它 只决定于质点在此时刻的位置和加在它上 面的约束，时间 t 没有改变（δt=0），以 δr 表之。
一般说来，在任意时刻 t，在约束所许可 的情况下，质点的虚位移不止一个。实位移则 不同，它除受到约束的限制外，还要受到运动 规律的限制，当时间改变dt后，实位移一般只 能有一个。
本章重点：
虚功原理和拉格朗日方程及其应用。
§5.1 约束和广义坐标
一、约束的概念和分类
1）约束
彼此相互影响的若干质点的一个集合， 称为力学体系，也叫质点组。一个力学体系 中，存在着限制质点自由运动的条件，我们 把这些条件叫做约束，约束的数学表达式称 为约束方程。
f (x.y.z.x.y.z.t) 0
可解约束——如果质点虽然被约束在某一曲 面上，但在某一方向可以脱离这个曲面。
f (x.y.z) c
当质点被一柔软绳连在一个定点O上而作 任意运动时，所受的约束是可解约束，约束方 程为：
x2 y2 z2 l2
如果质点是用刚性杆和定点O相连，则质点 所受的约束是不可解约束，约束方程为：
x2 y2 z2 l2
c) 几何约束和运动约束
几何约束——它只限制质点在空间的位置， 因而表现为质点坐标的函数。
f (x.y.z) 0 f (x.y.z.t) 0
运动约束——除了限制质点的坐标外，还 要限制质点的速度。运动约束又叫微分约束。
f (x.y.z.x.y.z.t) 0
d) 完整约束和不完整约束
几何约束 完整约束 运动约束（积分后可变为几何约束） 不完整约束
例如，一个力学体系由n个质点所形成，受k
个几何约束，自由度：s=3n-k，把3n个不独立的
坐标用s个独立参数及t表出，即：
xi xi (q1.q2 qs .t) yi yi (q1.q2 qs .t) (i 1.2n, s 3n)
zi
z
i
(q1
.q
2
qs
.t
)
xi xi (q1.q2 qs .t) yi yi (q1.q2 qs .t) (i 1.2n, s 3n) zi zi (q1.q2 qs .t)
分析力学用新的观点、新的方法处理 力学问题，具有更高的概括性，是力学理论 发展的更高阶段，而这一发展是与充分利用 了数学分析这一有力的数学工具是分不开的。 分析力学注重的物理量不是力和加速度，而 是功和能。从数学上讲，处理对象从矢量转 变为标量，处理方法也从几何方法转变为数 学分析的方法。
i 1
光滑曲线、光滑曲面、光滑铰链、刚性 杆、不可伸长的绳等都是理想约束。
三、虚功原理
设某力学体系受有k个几何约束，处于平
衡状态，取体系中任一质点Pi，并设作用在 此质点上主动力的合力为Fi，约束反力的合 力为Ri，因为此体系中每一质点都必须处于 平衡状态，故必须有：
Fi Ri 0
(i 1.2n)
质点自它的平衡位置发生一虚位移δri
Fi ri Ri ri 0 (i 1.2n)
对所有质点求和： n
n
Fi ri Ri ri 0
i 1
i 1
n
对理想约束：
Ri ri 0
wenku.baidu.com
i 1
因此力学体系处于平衡状态时，其平衡条件是：
或：
n
W Fi ri 0 i 1
n
W (Fixxi Fiyyi Fizzi ) 0 i 1
在稳定约束下，实位 移是许多虚位移里面的一 个，但对不稳定约束，实 位移与虚位移并不一致 。
二、理想约束
虚功——作用在质点上的力（包括约束 反力）在任意虚位移中所做的功。
理想约束 ——如果作用在一力学体系上 的诸约束反力在任意虚位移中所做的虚功之 和为零。这种约束叫做理想约束。
n
Ri ri 0
2）约束的分类
a) 稳定约束和不稳定约束
稳定约束——如果限制系统位置的约束不是 时间t的函数，则约束方程中不显含时间t，即：
f (x.y.z) 0
不稳定约束——如果约束是时间t的函数，则 约束方程显含时间t，即：
f (x.y.z.t) 0
例如：当一质点和长为l的刚性杆相连时，如 刚性杆的上端固定不动，取此点为坐标原点，则
约束方程：x 2 y 2 z 2 l 2 ——稳定约束
如果杆的上端沿水平直线(x轴)以匀速运动， 并取该直线上某定点为坐标原点，则约束方程 为：
(x ct)2 y 2 z 2 l 2 ——不稳定约束
b)可解约束和不可解约束 不可解约束——质点始终不能脱离某曲面
（或曲线）的那种约束。
f (x.y.z) 0 f (x.y.z.t) 0
n
W Fi ri 0 i 1
受有理想约束的力学体系平衡的充要条 件是：力学体系所受到的的诸主动力在任意 虚位移中所做的元功之和等于零。叫做虚功 原理，也叫虚位移原理。
优点——利用虚功原理解理想约束的力 学体系的平衡问题时，由于约束反力自动消 去，故可很简单地用它去求主动力在平衡时 所应满足的条件，即所谓平衡条件。
Chapter 5 分析力学内容
§5.1 约束和广义坐标 §5.2 虚功原理 §5.3 拉格朗日方程 §5.4 小振动 §5.5 哈密顿正则方程 §5.6 哈密顿原理 §5.7 泊松括号和泊松定理
本章基本要求：
深刻理解约束、虚位移和广义坐标的概念；掌 握拉格朗日函数和哈密顿函数的写法；牢固掌握虚 功原理和拉格朗日方程并能熟练应用；掌握能量积 分的条件；能应用正则方程解决简单的力学问题； 对哈密顿原理着重理解其思维方法；了解泊松括号 和泊松定理。
或写成矢量式：
ri ri (q1.q2 qs .t) (i 1.2n, s 3n)
广义坐标，它不一定是长度，可以是角度或 其它物理量，例如：面积、体积、电极化强度、 磁化强度等。
§5.2 虚功原理
一、实位移与虚位移
实位移：质点由于运动实际上所发生的 位移（由于时间 t 发生变化所致）以 dr 表之。
可解约束 f (x.y.z) c 运动约束（不可积） f (x.y.z.x.y.z.t) 0
凡只受有完整约束的力学体系叫完整系。同 时受有完整约束与不完整约束的力学体系，或只 受有不完整约束的力学体系都叫不完整系。
二、广义坐标
在力学体系只受几何约束的情形下，独立坐 标的数目叫做力学体系的自由度。用来表示这些 独立变量的参数叫广义坐标（也叫拉格朗日广义 坐标），通常用 q 表示。
虚位移：是想象中可能发生的位移，它 只决定于质点在此时刻的位置和加在它上 面的约束，时间 t 没有改变（δt=0），以 δr 表之。
一般说来，在任意时刻 t，在约束所许可 的情况下，质点的虚位移不止一个。实位移则 不同，它除受到约束的限制外，还要受到运动 规律的限制，当时间改变dt后，实位移一般只 能有一个。
本章重点：
虚功原理和拉格朗日方程及其应用。
§5.1 约束和广义坐标
一、约束的概念和分类
1）约束
彼此相互影响的若干质点的一个集合， 称为力学体系，也叫质点组。一个力学体系 中，存在着限制质点自由运动的条件，我们 把这些条件叫做约束，约束的数学表达式称 为约束方程。
f (x.y.z.x.y.z.t) 0
可解约束——如果质点虽然被约束在某一曲 面上，但在某一方向可以脱离这个曲面。
f (x.y.z) c
当质点被一柔软绳连在一个定点O上而作 任意运动时，所受的约束是可解约束，约束方 程为：
x2 y2 z2 l2
如果质点是用刚性杆和定点O相连，则质点 所受的约束是不可解约束，约束方程为：
x2 y2 z2 l2
c) 几何约束和运动约束
几何约束——它只限制质点在空间的位置， 因而表现为质点坐标的函数。
f (x.y.z) 0 f (x.y.z.t) 0
运动约束——除了限制质点的坐标外，还 要限制质点的速度。运动约束又叫微分约束。
f (x.y.z.x.y.z.t) 0
d) 完整约束和不完整约束
几何约束 完整约束 运动约束（积分后可变为几何约束） 不完整约束
例如，一个力学体系由n个质点所形成，受k
个几何约束，自由度：s=3n-k，把3n个不独立的
坐标用s个独立参数及t表出，即：
xi xi (q1.q2 qs .t) yi yi (q1.q2 qs .t) (i 1.2n, s 3n)
zi
z
i
(q1
.q
2
qs
.t
)
xi xi (q1.q2 qs .t) yi yi (q1.q2 qs .t) (i 1.2n, s 3n) zi zi (q1.q2 qs .t)