直线与平面的位置关系

直线、平面的位置关系

2. [2012·辽宁，文18]如图，直三棱柱ABC －A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的

中点．

(1)证明：MN∥平面A′ACC′；

(2)求三棱锥A′－MNC的体积．

(锥体体积公式V＝1

3Sh，其中S为底面面积，h为高)

3. [2012·山东，文19]如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

3. [2012·江西，文19]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F 是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC ＝42，DE＝

4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B

两点重合于点G，得到多面体CDEFG.

(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；

(2)求多面体CDEFG的体积．

4. [2012·大纲全国，文19]如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.

(1)证明：PC⊥平面BED；

(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

5. [2012·福建，文19]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB ＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．

(1)求三棱锥A－MCC1的体积；

(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.

6. [2012·浙江，文20]如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．

(1)证明：①EF∥A1D1；

②BA1⊥平面B1C1EF；

(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．

7. [2012·江苏，16]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.

8. [2012·北京，文16]如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E 分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE 折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.

(1)求证：DE∥平面A1CB；

(2)求证：A1F⊥BE；

(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．

9. [2012·安徽，文19]如图，长方体ABCD－A1B1C1D1

中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱

AA1上任意一点，

(1)证明：BD⊥EC1；

(2)如果AB＝2，AE＝2，OE⊥EC1，求AA1的长．

10. [2012·课标全国，文19]如图，三棱柱ABC－

A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝

1

2AA1，D是棱AA1的中点．

(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；

(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

11. [2012·重庆，文20]如图，在直三棱柱ABC

－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中

点．

(1)求异面直线CC1和AB的距离；

(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．

2. (1)证法一：连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，

所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，

所以MN∥AC′.

又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′.

证法二：取A′B′中点P，连结MP，NP.

而M，N分别为AB′与B′C′的中点，

所以MP∥AA′，PN∥A′C′，

所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.

又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.

而MN ⊂平面MPN ，

因此MN ∥平面A ′ACC ′.

(2)解法一：连结BN ，由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .

又A ′N ＝12B ′C ′＝1， 故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16

. 解法二：V A ′－MNC ＝V A ′－NBC －V M －NBC ＝12V A ′－NBC ＝16

. 3. 证明：(1)取BD 的中点O ，连接CO ，

EO .

由于CB ＝CD ，所以CO ⊥BD .

又EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，CO ，EC ⊂平

面EOC ，所以BD ⊥平面EOC ，

因此BD ⊥EO .

又O 为BD 的中点，所以BE ＝DE .

(2)证法一：取AB 的中点N ，连接DM ，DN ，

MN .

因为M 是AE 的中点，所以MN ∥BE .

又MN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，

所以MN ∥平面BEC .

又因为△ABD 为正三角形，

所以∠BDN ＝30°.

又CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，

因此∠CBD ＝30°，所以DN ∥BC .

又DN ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，