3.1.1不等关系与不等式
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在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，
由此可得到结论：
对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a<b
三种关系中有且仅有一种关系成立。
2020年6月25日星期四
11
如果a－b是正数，则a>b；如果a>b， 则a－b为正数；
如果a－b是负数，则a<b；如果a<b， 则a－b为负数；
如果a－b等于零，则a=b；如果a=b， 则a－b等于零。
2020年6月25日星期四
a≥0
2
4、右图是限速40km/h的路标，指 示司机在前方路段行驶时，应使汽 车的速度v不超过40km/h ，写成不
等式是：___v_≤_4_0___
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量 f 应不少于2.5%，蛋白质的含量 p应不少 于2.3%，下列不等式 表示错误的为：( A )
作业
课本P75 习题3.1 A组 3， B组 1（1）（2）
2020年6月25日星期四
18
7 0.
(a 3)(a 5) (a 2)(a 4).
点评：作差比较法的基本步骤：
作差
2020年6月25日星期四
变形
定号
下结论
14
解： (x2 1)2 (x4 x2 1)
x4 2x2 1 x4 x2 1
x2.
由 x 0 得x2 0,
从而 (x2 1)2 x4 x2 1.
2020年6月25日星期四
12
上判述断结两论个可实数以大写小成的：依据是：
ab 0a b
a b 0 a b 作差比较法
ab 0 a b
这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
2020年6月25日星期四
13
举例
解： (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) (a2 2a 15) (a2 2a 8)
设长为698mm与 x 0
518mm的毛坯分 别x与y个
y 0
x, y N
2020年6月25日星期四
9
练习2：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1车箱甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、 硝酸盐18吨；生产1车箱乙种肥料需要的主要原 料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐 10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请 用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。
即：30+0.2x≤150. 解得x≤600.
2020年6月25日星期四
4
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系。
含有这些不等号的式子叫做不等式。
2020年6月25日星期四
5
二、用不等式来解决生活中的不等关系问题：
例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提 价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢？
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3% B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
C.
f ≥ 2.5%
p
≥
2.3%
2020年6月25日星期四
3
6、某人为自己制定的月支出计划中，
规定手机费不超过150元，他所选用的中
国电信卡的收费标准为：
月租费 每分钟通话费
中国电信卡
30元
0.20元
求这个人月通话时间的取值范围。
500x 600y 4000 x3x0y y 0 x,y∈N
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
2020年6月25日星期四
8
练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长 为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写 出满足上述所有不等关系的不等式组？
分析:
698x 518y 4000
4x y 10
解:设分别生产甲、
乙两种肥料为x箱,
y箱
18x 15y 66
x
0
2020年6月25日星期四
y 0
10
在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别
为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有
Fra Baidu bibliotek
以下三种：
（1）点A和点B重合； a b
（2）点A在点B的右侧； a b
（3）点A在点B的左侧。 a b
当x=1时，x3=x2－x+1，
当x<1时，x3<x2－x+1.
2020年6月25日星期四
16
小结
1.不等式（组）刻画不等关系
2.比较实数大小的依据:
ab 0 a b a b 0 a b
ab 0 a b
3.作差比较法的基本步骤:
作差—变形—定号—下结论
2020年6月25日星期四
17
3.1.1 不等关系与不等式
2020年6月25日星期四
1
现实世界和日常生活中，既有相等 关系，又存在着大量的不等关系，如：
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温 度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；
7℃≤t≤13℃
2、三角形ABC的两边之和大于第三边； AB+AC>BC或……
3、a是一个非负实数。
点评： 任意实数的平方不小于0。考虑：如果
没有x≠0这个条件，那么结果又如何？
2020年6月25日星期四
15
练习3. 比较x 3 与 x2 x 1的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
∵ x2+1>0，
=(x－1)(x2+1),
∴ 当x>1时， x3>x2－x+1；
分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少： x 2.5 0.2万本 因此，销售总收入为：
0.1
(8 x 2.5 0.2)x万元 用不等式表示为：
0.1
x 2.5
(8
0.2)x 20
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0.1
6
例2、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截 成500mm和600mm的两种规格。按照生产 的要求，600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有 不等关系的不等式呢？
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢 管y根。根据题意，应当有什么样的不等关系呢？
(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管 数量的3倍；
(3)截得两种钢管的数量都不能为负。
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7
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同 时满足的话，可以用下面的不等式组来表示：
由此可得到结论：
对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a<b
三种关系中有且仅有一种关系成立。
2020年6月25日星期四
11
如果a－b是正数，则a>b；如果a>b， 则a－b为正数；
如果a－b是负数，则a<b；如果a<b， 则a－b为负数；
如果a－b等于零，则a=b；如果a=b， 则a－b等于零。
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a≥0
2
4、右图是限速40km/h的路标，指 示司机在前方路段行驶时，应使汽 车的速度v不超过40km/h ，写成不
等式是：___v_≤_4_0___
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量 f 应不少于2.5%，蛋白质的含量 p应不少 于2.3%，下列不等式 表示错误的为：( A )
作业
课本P75 习题3.1 A组 3， B组 1（1）（2）
2020年6月25日星期四
18
7 0.
(a 3)(a 5) (a 2)(a 4).
点评：作差比较法的基本步骤：
作差
2020年6月25日星期四
变形
定号
下结论
14
解： (x2 1)2 (x4 x2 1)
x4 2x2 1 x4 x2 1
x2.
由 x 0 得x2 0,
从而 (x2 1)2 x4 x2 1.
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12
上判述断结两论个可实数以大写小成的：依据是：
ab 0a b
a b 0 a b 作差比较法
ab 0 a b
这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
2020年6月25日星期四
13
举例
解： (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) (a2 2a 15) (a2 2a 8)
设长为698mm与 x 0
518mm的毛坯分 别x与y个
y 0
x, y N
2020年6月25日星期四
9
练习2：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1车箱甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、 硝酸盐18吨；生产1车箱乙种肥料需要的主要原 料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐 10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请 用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。
即：30+0.2x≤150. 解得x≤600.
2020年6月25日星期四
4
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系。
含有这些不等号的式子叫做不等式。
2020年6月25日星期四
5
二、用不等式来解决生活中的不等关系问题：
例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提 价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢？
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3% B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
C.
f ≥ 2.5%
p
≥
2.3%
2020年6月25日星期四
3
6、某人为自己制定的月支出计划中，
规定手机费不超过150元，他所选用的中
国电信卡的收费标准为：
月租费 每分钟通话费
中国电信卡
30元
0.20元
求这个人月通话时间的取值范围。
500x 600y 4000 x3x0y y 0 x,y∈N
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
2020年6月25日星期四
8
练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长 为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写 出满足上述所有不等关系的不等式组？
分析:
698x 518y 4000
4x y 10
解:设分别生产甲、
乙两种肥料为x箱,
y箱
18x 15y 66
x
0
2020年6月25日星期四
y 0
10
在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别
为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有
Fra Baidu bibliotek
以下三种：
（1）点A和点B重合； a b
（2）点A在点B的右侧； a b
（3）点A在点B的左侧。 a b
当x=1时，x3=x2－x+1，
当x<1时，x3<x2－x+1.
2020年6月25日星期四
16
小结
1.不等式（组）刻画不等关系
2.比较实数大小的依据:
ab 0 a b a b 0 a b
ab 0 a b
3.作差比较法的基本步骤:
作差—变形—定号—下结论
2020年6月25日星期四
17
3.1.1 不等关系与不等式
2020年6月25日星期四
1
现实世界和日常生活中，既有相等 关系，又存在着大量的不等关系，如：
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温 度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；
7℃≤t≤13℃
2、三角形ABC的两边之和大于第三边； AB+AC>BC或……
3、a是一个非负实数。
点评： 任意实数的平方不小于0。考虑：如果
没有x≠0这个条件，那么结果又如何？
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15
练习3. 比较x 3 与 x2 x 1的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
∵ x2+1>0，
=(x－1)(x2+1),
∴ 当x>1时， x3>x2－x+1；
分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少： x 2.5 0.2万本 因此，销售总收入为：
0.1
(8 x 2.5 0.2)x万元 用不等式表示为：
0.1
x 2.5
(8
0.2)x 20
2020年6月25日星期四
0.1
6
例2、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截 成500mm和600mm的两种规格。按照生产 的要求，600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有 不等关系的不等式呢？
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢 管y根。根据题意，应当有什么样的不等关系呢？
(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管 数量的3倍；
(3)截得两种钢管的数量都不能为负。
2020年6月25日星期四
7
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同 时满足的话，可以用下面的不等式组来表示：