第三章 LSI系统的时域分析和信号卷积

…
被求和序列 x(k)h(n-k)
n<0时，
x(k )h(n k ) 0
x(k)h(n-k), n≥0
0
1 -1
1
n
k
n≥0时，
a , 0 k n x ( k ) h( n k ) 0, k 0, k n
k
y(n )
…
0
1
n
2. LSI系统的卷积及性质
计算步骤：
3.求和; n<0时，
y ( n) 0
h( k
) x(k )
-1 1 n -1
1 0 1 0 1 2 1 2
…
k
…
k
…
k
h(n-k), n<0
0 1 2 1 -1 0 1 -1 1 n k k
n≥0时， n
1 a n1 y ( n) a 1 a k 0
h(n-k), n≥0
2. LSI系统的卷积及性质
卷积的计算方法：
图解法 解析法
习题：已知某离散时间LSI系统的输入 x(n) 和单位冲激响应 h(n)
分别为
x(n) a nu (n), 0 a 1 h(n) u (n)
求系统输出 y(n)，并画出它的序列图形。
2. LSI系统的卷积及性质
计算步骤：
…
4.对所有的你重复上述2-4的
步骤。
1 a n 1 , n0 y ( n) 1 a 0, n 0
x(k)h(n-k), n≥0
0
1 -1
1
n
k
y(n )
…
0
1
n
2. LSI系统的卷积及性质
习题：假定 x(t) 和 h(t) 均为矩形脉冲信号，试求 y(t)= x(t)*h(t)
这一性质表明，若干个 LSI 系统的并联系统仍是 LSI 系统，它 的单位冲激响应是各个并联的 LSI 系统单位冲激响应的代数和。 时移性质 若有 ，则
x(t ) h(t ) y(t )
x(t t0 ) h(t ) x(t ) h(t t0 ) y(t t0 )
一个信号 y(t) 或 y(n) 的相关运算，可以让该信号通过单位冲激
响应为 y(-t) 或 y(-n)的 LSI 系统来实现。 匹配滤波器：
x(t) 匹配滤波器 h(t)=x(-t) 或 h(n)=x(-n) rx(t) 判 决 器 结果
或 x ( n)
3. 卷积的收敛和周期卷积
卷积收敛条件： 如果参与卷积运算的两个信号或序列分别是模可积或模可和 的，则它们的卷积积分与卷积和必定收敛。
x ( n)
k
x(k ) (n k )

假设 x(n) 是某离散 LSI 系统的一个输入信号，y(n) 是相应的输 出信号。
2. LSI系统的卷积及性质
假设该 LSI 系统的单位冲激响应为 h(n)，根据系统的时不变性 有： 再根据叠加性质有：
k
( n k ) h( n k )
这一性质表明，一方面，若干个 LSI 系统级联的系统仍是一个
LSI 系统，总系统的单位单位冲激响应等于级联的所有 LSI 系 统的单位冲激响应的逐次卷积。另一方面，任意改变 LSI 系统
级联的先后次序是无关紧要的。
2. LSI系统的卷积及性质
分配律
x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
如果 φ (n) 为复正弦信号和复指数信号，即为变换域分析方法。
1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单位冲激响应
2.
3. 4.
LSI 系统的卷积及性质
卷积的收敛和周期卷积 单位冲激响应与 LSI 系统的特性之间的关系
1. 单位冲激响应
系统对冲激信号 δ(t)、δ(n) 的响应 h(t)、h(n)称为单位冲激响应。
习题1：求系统
卷积与相关的关系 相关函数：
rxy (t ) x( ) y ( t )d
*
卷积：
x(t ) y(t ) x( ) y(t )d



rxy (m)
n
x(n) y (n m)
*
x ( n ) y ( n)
k
t T / 2 t T / 2 d u (t T ) d u (t ) T / 2 T / 2 t T / 2 t T / 2 d u ( t ) T / 2 T / 2 d u (t T ) (t T )u (t T ) 2tu (t ) (t T )u (t T )
y(n) ay(n 1) x(n)
的单位冲激响应，其中 a 为常数，初始条件为 h(−1) = 0。
解答： 由定义及初始条件可知:
h(n) ah(n 1) (n) h(0) 0 (0) 1 h(1) ah(0) 0 a h(2) ah(1) 0 a 2 h( n) a n
如果能够找到一类基本信号 ϕ(t) 或 ϕ(n)，它满足： 用它们能构成相当广泛的信号； LSI系统对每个 ϕ(t) 或 ϕ(n) 的响应十分简单。 则系统对任意输入信号的响应将会具有一个简单的表达式。 单位冲激信号 δ(t) 或 δ(n)、复正弦信号 ejΩt 或 ejωt、复指数信号 est 和 zn 同时具有上述两个性质。 如果 ϕ(n) 为单位冲激信号，即为时域分析方法。
2. LSI系统的卷积及性质
上述结果表明，无论是连续还是离散 LSI 系统，只要知道该系 统的单位冲激响应 h(t) 和 h(n)，则它们分别对任意输入 x(t) 和 x(n)的响应 y(t) 和 y(n) ，就可以分别用两个信号 x(t) 与 h(t) 的卷 积极分和 x(n)与 h(n) 卷积和直接计算出来。
2. LSI系统的卷积及性质
用时移单位冲激信号的线性组合表示离散信号：
x(n) x(3) (n 3) x(2) (n 2) x(1) (n 1) x(0) (n) x(1) (n 1) x(2) (n 2） x(3) (n 3)

u ( T / 2)u (t T / 2 )d u ( T / 2)u (t T / 2 )d


u ( T / 2)u (t T / 2 )d u ( T / 2)u (t T / 2 )d
解答： 由定义，将 x(n) 换成 δ(n)
h(n) b(0) (n) b(1) (n 1) b(2) (n 2)
所以
b(0), b(1), h( n) b(2), 0, n0 n 1 n2 Otherwise
此类系统称为有限冲激响应（Finite Impulse Response, FIR）系统。
x(n) (n) (n) x(n) x(n)
涉及单位冲激的卷积
x(t ) (t ) (t ) x(t ) x(t )
这就表明任何信号和序列与单位冲激卷积，将分别等于原信号
和原序列。此外，任何信号和序列都可以用单位冲激激励一个
LSI系统来获得，只要该系统的单位冲激响应是所需信号本身。


-T
0
T
t
2. LSI系统的卷积及性质
卷积的性质（只给出连续情况，离散情况下类似）： 交换律：
x(t ) h(t ) h(t ) x(t )
这一性质表明，参与卷积运算的两个函数或序列的作用可以相 互替代。 结合律：
[ x(t ) h1 (t )] h2 (t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )]
rxy (n) x(n) y(n)
rx (n) x(n) x(n)
如果限于实信号和实序列，则有：
rxy (t ) x(t ) y(t )
rx (t ) x(t ) x(t )
对于实信号和实序列的自相关函数，则有： 卷积与相关之间的这种关系表明，一个信号 x(t)、 x(n) 与另外
x(n) B

n
h( n )
k

y(n)
k
h(k ) x(n k ) h(k ) x(n k ) B h(k )
k

3. 卷积的收敛和周期卷积
LSI
x(k ) (n k ) x(k )h(n k )
k

LSI

离散时间LSI系统的输入输出信号变换关系表现为一个无限求 和，称为卷积和：
y(n)
连续情况下：
k
x(k )h(n k ) x(n) h(n)


y(t ) x(t ) h(t ) x( )h(t )d
2. LSI系统的卷积及性质
卷积积分的微分与积分性质：
d d d [ x(t ) h(t )] x(t ) [ h(t )] [ x(t )] h(t ) dt dt dt

t

[ x( ) h( )]d x(t ) [ h( )d ] [ x( )d ] h(t )
1.将 x(n) 和 h(n) 的自变量换 成 k;
h( k
) x(k )
-1 1 n -1
1 0 1 0 1 2 1 2
…
k
…
k
2.将 h(k) 翻转并右移 n 得到
h(n-k)； 3.将 x(k) 和 h(n-k) 相乘得到
…
h(n-k), n≥0
h(n-k), n<0
0 1 2 1 -1 0 1 -1 1 n k k
y(t ) x(t ) h(t )
y (t )



x( )h(t )d


x( ) d h(t ) d


如果参与卷积运算的两个信号或序列中一个是有界的，而另
外一个满足模可积或模可和，则它们的卷积积分与卷积和必定
收敛。
y(n) x(n) h(n)
如果某个 LSI 系统对离散时间信号 ϕ(n) 的响应为 φ(n)，则基于时 不变性有：
(n k ) (n k )
LSI
再根据 LSI 系统的线性性质，系统对输入
x(n) ak (n k )
k
的响应为：
y(n) ak (n k )
k
连续情况下与此类似。

t
t
卷积和的差分与累加性质：
[ x(n) h(n)] x(n) [h(n)] [x(n)] h(n)
n n n
k
[ x(n) h(n)] x(n) [ h(n)] [ x(n)] h(n)
k k
2. LSI系统的卷积及性质
1 -T/2 0 T/2 t
解答：不难写出
x(t ) h(t ) u(t T / 2) u(t T / 2)
2. LSI系统的卷积及性质
则有：
y (t ) x( )h(t )d

[u ( T / 2) u ( T / 2)][u (t T / 2 ) u (t T / 2 )]d
x( k ) y ( n k )
从上述公式可以看出，卷积与相关函数非常类似：这两种运算 过程都包含时移、相乘和无限积分（或求和）三个步骤；只有
一个差别，即卷积运算要对第二个信号先进行翻转然后再时移，
而相关运算无此步骤。
2. LSI系统的卷积及性质
卷积与相关存在如下关系：
rxy (t ) x(t ) y* (t ) rxy (n) x(n) y* (n)
a n , n 0 h( n) 0, n 0
此类系统称为无限冲激响应（Infinite Impulse Response, IIR）系统。
1. 单位冲激响应
习题2：求系统
y ( n) b( k ) x ( n k )
k 0 2
的单位冲激响应。其中 b(0)、b(1) 、b(2) 为常数。