初中数学 构造辅助圆探求最值问题

构造辅助圆探求最值问题

最值问题是中考舞台上的常青树，涉及知识面广，解决的方法活，且富有一定的技巧，所以

倍受命题老师的青睐.下面就谈谈辅助圆在求最值时的精彩，供学习时借鉴.

1.构造辅助圆直接求线段的最小值

例1 如图1，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠

PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为 （ ）

A.32

分析：如图1，根据已知条件，我们不难发现，动点P 在以AB 为直径的圆上运动，而点C

在辅助圆的外部，根据点与圆的关系，知道，当O,P ，C 三点共线时，CP 最短.

解：因为∠PBA+∠PBC=90°，∠PAB=∠PBC ，所以∠PBA+∠PAB=90°，所以∠APB=90°，所

以点P 在以AB 为直径的圆上，当O,P ，C 三点共线时，CP 最短，因为AB=6,所以OB=3,因为

BC=4，所以OC=5，所以CP=OC-OP=5-3=2,所以CP 的最小值为2，所以选B.

点评：构造辅助圆，把不容易确定的线段的最小值问题转化为点与圆的关系是解题的关键，

要学会这门技巧.

2.构造辅助圆间接求线段的最小值

例2 如图2，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，

将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为 （ ） A. 5 B. 7 C. 8 D.132

分析：如图2，当点Q在运动时，不难发现点A的对称点A'在以P为圆心，PA为半径的圆上，由BP=3，知道PA=5，连接PC与圆交于点F，由点C是圆P外的一点，根据点与圆的关系知道，当A'与点F重合时，CF=C A'最短，找到了最短位置，接下来就是求CQ的数值了. 根据图形的对称性知道：∠QPA=∠CPQ，根据菱形的性质，知道：AB∥CD，所以∠QPA=∠CQP，所以∠CPQ=∠CQP，，所以CQ=CP.过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据三角形ABC 是等边三角

形，且AB=8，所以,因为BP=3，所以EP=1，在直角三角形CEP中，

=所以CQ=7.

解：选B.

点评：巧妙把线段的最小值转化成圆外一点与圆的关系是解题的关键，也是一种常用的方法，希望平时学习时多加练习.

3.直接应用给定的半圆，探求最值

例3 如图3，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P,Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值和最小值的和是（）

32 3

分析：要想求最值的和，首先要结合条件，确定PQ的最大值在什么位置上取的，最小值在什么位置上取的，并能求得，和自然就得到.

解：如图3，当点Q与点E重合，点P与点B重合时，线段PQ有最大值，设半圆与AC的切点为D，连接OD，则OD⊥AC，因为AB=10,AC=8,BC=6,所以BC⊥AC，所以OD∥BC，因为OA=OB，所以OD是三角形ABC的中位线，所以AD=DC=4,OD=OE=OF=3,所以AE=OA-OE=5-3=2,所以线段PQ的最大值为PQ=10-2=8；

过点O作ON⊥BC，交半圆于点M，过点M作GH∥BC,所以当点Q与点M重合，点P与点N重合时，线段PQ有最小值，PQ=MN=CH=DC-DH=4-3=1,,所以线段PQ的最小值为PQ=1；

所以PQ的最大值与最小值的和为8+1=9，所以选C.

点评：能顺利找到PQ取的最大值与最小值时，线段所对应的位置和条件，是解题的关键.

4.构造辅助圆，借助弦心距的最大值求解

例4 如图4，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．

（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；

（2）连接BN ，当DM＝1时，求△ABN的面积；

（3）当射线BN 交线段CD于点F时，求DF的最大值．

分析：如图4-3，我们不难发现，点N在以A为圆心，以3为半径的圆上运动，过点A作AH ⊥BF，垂足为H，在整个运动过程中，直线BF与圆A的关系，从相交逐步演绎到相切，直到相离，此时圆心到弦的弦心距AH，遵循着从小到大，再到无得变化规律，当弦心距最大时，BN是圆的切线，在直角三角形ABN中，AB长度不变，AH（AN）最大，此时BN取得最小值，且满足点F和点M重合，如图4-4，这种条件下，三角形ABN和三角形BFC是全等三角

形，也就是说此时CF 恰好取到最小值，由于DC 的长度是一个定值，从而DF 取到最大. 解：

（1）因为△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM ，根据折叠的性质，得∠DAM=∠NAM ，因为AN 平分∠MAB 时，所以∠NAM=∠NAB ，所以∠DAM=∠NAM=∠NAB ，因为∠DAB=90°，

所以∠DAM=30°，所以DM=ADtan30°=3×3； （2）如图4-2，延长MN 交AB 延长线于点Q ，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ，∠DMA=∠MAQ, 由折叠的性质，知 ∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,所以∠MAQ=∠AMQ,所以QM=QA,设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，在直角三角形ANQ 中，222AQ QN AN =+,所以222(1)3x x +=+，解得x=4，所以NQ=4,AQ=5,设点N 到AB 的距离为h ，所以AQ ×h=3×4，所以h=

125，因为三角形ABN 和三角形ANQ 同高，所以三角形ABN 的面积为：11124225AB h ⨯⨯=⨯⨯=245

； （3）因为点N 在以A 为圆心，以3为半径的圆上运动，过点A 作AH ⊥BF ，垂足为H ，当弦心距AH 最大时，BN 是圆的切线，在直角三角形ABN 中，AB 长度不变，AH （AN ）最大，此时BN 取得最小值，

且满足点F 和点M 重合，如图4-4，所以,因为AN=BC, ∠ABN=∠BNC,

∠ANB=∠BCN,所以△ABN ≌△BNC ，所以,所以，所以DF 的最大

值为.

点评：灵活把线段的最大值，先转化为弦心距的最大值，再把弦心距的最大值转化为线段的最小值，最后借助线段的差把最小值再转化为所求线段的最大值，这是平时解题不常见的方法，需要加强训练.

5.构造辅助圆，借助同圆的半径相等求解

例5 如图5是由两个长方形组成的工件平面图(单位，mm)，直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm.