极坐标系常考题型及求解策

极坐标常考题型及求解策略

陕西省定边四中 曹世鹏

极坐标系是解析几何的基础，是联系几何与代数的桥梁。作为高中数学选修内容，在高考试题中为选做题，常见考题分为以下五种类型：

一、求极坐标和极坐标方程问题 例1（2012江西高考题）曲线C 的直角坐标方程为0222=-+x y x ,以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿。

解析：考查极坐标与直角坐标的转化，令θρρcos ,222==+x y x ，将其带入

0222=-+x y x ，得0cos 22=-θρρ整理得θρcos 2=

例2（2012宝鸡质检）求过点)3

,

2(π

且平行于极轴的直线的极坐标方程＿＿＿＿.

解析：因为点)3

,

2(π

对应的直角坐标为)3,1(，过点)3,1(平行于x 轴的直线方程

为3=y ，化为极坐标方程为3sin =θρ。

二、 极坐标系中的距离问题

例3（2012安徽高考）在极坐标系中，圆θρs i n 4=的圆心到直线6

π

θ=)(R ∈ρ的距离是

＿＿＿＿＿。

解析：考查如何将极坐标化为直角坐标，先将θρsin 4=化成直角坐标方程为

,422y y x =+即,4)2(22=-+y x 圆心为)2,0(.将6

π

θ=

)(R ∈ρ化成直角坐标方程为

,03=-y x 由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离.32

320=-=

d

例4（2013安庆联考）在极坐标系中，点)3

,2(π

与圆θρcos 2=的圆心之间的距离为＿＿

＿＿。

解析：由⎪⎩

⎪⎨⎧

======33s i n 2s i n ,13c o s 2c o s πθρπθρy x 可知，点)3,2(π的直角坐标)3,1(.圆θ

ρcos 2=的直角坐标方程为,22

2

x y x =+即,1)1(2

2

=+-y x 则圆心)0,1(与点)3,1(之间的距离为3。

三、极坐标系中求解弦长问题

例5（2012陕西高考）直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=相交的弦长为＿＿＿＿＿。

解析：直线方程为12=x ，圆的方程为0222=-+x y x ，圆心为)0,1(，半径,1=r 圆心到直线的距离为.2

1

021

22=+-=

d 设所求的弦长为l ，

则2221)2()21(=+l ，解得3=l 。 例6在极坐标系中，点A 的坐标为22(、)4

π

，曲线C 的方程为θρcos 2=，则O OA (为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为＿＿＿＿。

解析：由题意知直线OA 的直角坐标方程为,0=-y x 曲线C 的直角坐标方程为

,222x y x =+即,1)1(22=+-y x 易知曲线C 为圆，且圆心C 到直线OA 的距离为

2

1，故直线OA 被曲线C 所截弦的长度为22

1

12=-。 例7在极坐标系中，直线2)4

sin(=+

π

θρ被圆4=ρ所截得弦长为＿＿＿＿＿。

解析：分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为,022=-+y x

162

2=+y x ，则圆心O 到直线022=-+y x 的距离,22

22=-=d 半弦长为

,32416=-所以弦长为34。

四、极坐标系中求最值问题

例8在极坐标系中，圆2=ρ上的点到直线6)sin 3(cos =+θθρ的距离的最小值为＿＿＿＿.

解析：考查如何将极坐标化为直角坐标，圆的直角坐标方程为,42

2

=+y x 直线的直

角坐标方程为,063=-+y x 圆心到直线的距离.32

6

030=-⨯+=d 所以圆上一点到

直线的最小距离等于123=-=-r d 。

例9 极坐标系中，圆03cos 22

=-+θρρ上的动点到直线07sin cos =-+θρθρ的距离

的最大值是＿＿＿＿。

解析：考查如何将极坐标化为直角坐标，圆03cos 22

=-+θρρ的直角坐标方程为

,03222=-++x y x 即.4)1(22=++y x 直线07sin cos =-+θρθρ的直角坐标方程为

.07=-+y x 圆心)0,1(-到直线的距离为

,242

71=--所以圆上动点到直线的距离的

最大值为.224+

五、极坐标与参数方程综合应用问题 例10 在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为),4

cos(2π

θρ+

=

以极点为原点，极轴为x 轴

的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎩

⎪⎨⎧--=+=t

y t x 53

1541（t 为参数），则直线l 被

圆C 所截得的弦长为＿＿＿＿。

解析：考查了极坐标与直角坐标的互化，参数方程化直角坐标方程，以及点到直线的距离公式。曲线C 的极坐标方程),4

cos(2π

θρ+

=

可化为,sin cos θθρ-=化为直角坐标

方程为,022=+-+y x y x 即,21)21()21(22=++-y x 直线l ：⎪⎩

⎪⎨

⎧--=+=t y t x 531541（t 为参数）可化为0143=++y x ，圆心到直线的距离.10

151

2

1

4213=+⨯-⨯

=

d 弦长

.5

7

222=-=d R L

例11已知曲线C 的极坐标方程为)0(cos >=a a θρ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t

y t x 2

2221（t

为参数）且直线l 与曲线C 相切.则=a ＿＿＿＿。

解析：将曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程为.2

2

ax y x =+将直线l 的参数方程化

成普通方程为,1-=x y 联立方程得⎩⎨⎧-==+,

1,

22x y ax y x 消去y 可得.01)2(22=++-x a x

直线l 与曲线C 相切，∴.08)2(2=-+=∆a 又).12(2,0-=∴>a a

极坐标常考题型如上所述，解决方法主要是将极坐标化成直角坐标，在直角坐标系下求解，应用点到直线间的距离公式和数形结合法求解是常用策略。考生只要掌握极坐标与直角坐标的互化，以及解析几何中的距离公式和数形结合法就能很好解决此类问题。