理论力学第二章

第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法 力对点之矩的概念及计算 平面力偶
平面汇交力系合成与平衡的几何法
平面汇交力系：指各力的作用线在同一平面内 且汇交于一点的力系。
共点力系 思考：共点力系与汇交力系的异同点
M
A B
解 选梁AB为研究对象
l
D
45
由平衡方程：
FA
M 0
M B
M FA l cos 45 0
A
FB
M 2M FA FB l cos 45 l
思考：结构如图所示，已知主动力偶 M，哪种情况铰链
的约束力较小（不计构件自重，AO垂直于BO）。 1、研究OA杆
F
2、研究AB杆 A
3.合力矩定理的应用之二——求分布载荷的合力
x q q l 由合力投影定理
x qdx l
x P q dx 0 l 1 P ql 2
l
由合力矩定理
x Ph q dx x 0 l
l
1 lq 2 2 h x dx l P 0l 3
平面力偶
ΣFx = 0
F2
1
d
2
3
F1
A
A
ΣFy = 0
F3
FA
M F1 F （拉） d
FA
例14 已知: 结构受力如图所示, 图中M, r均为已知 ,且l=2r ，杆重不计。求：铰A、C的反力。
解： AB为二力构件。对BC构件，由力偶平衡有：
M M 2M Fc d M Fc FB d 3d 3 2 d 2 2M FA FB 3d
（b）维持平衡时F 的最小值及其方向（不计构件自重）
B C
解：取铰链B、C为研究对象
20
45
0
0
FBB
40
0
B
30 0
F
x
0
x P sin 30 0 FBB sin 40 0 0
P
sin 300 FBB P 0 sin 40 Fx ' 0 sin 650 F FCC 0 sin 45
F1 360 N
1 60
F2 550 N F4 300 N
2 0
F3 380 N
3 30
4 70
试用解析法求合力的大 小和方向。
FRx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi FRy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi
F
a a
F
a a
F
B
A B
A
F F
F
只要保持力偶矩不变 力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变
性质二 : 力偶对刚体的运动效应只与力偶矩有关。
F
F´
F/2
F´/ 2
保持力偶矩不变，分别改变力和 力偶臂大小，其作用效果不变
性质二 : 力偶对刚体的运动效应只与力偶矩有关。
F1 F2 M=Fdk
F F
xi
0 yi 0
－平衡方程
解析法特点：便于定量分析平衡问题
例3
如图所示的压榨机中杆AB和BC的长度相等，自重忽略不 计。已知：F=3kN，h=200mm，l=1500mm。试求压榨机 对工件与地面的压力，以及AB杆所受的力。
解： 取活塞BD为研究对象并受力 分析如图。建立坐标，由平面 汇交力系的平衡方程有：
F
D
A
600
P
FBB
FAB
x'
C
FCC
C
B
65
0
FCC FCC sin 650 F sin 450 0
FCC
FCD
45
65
0
0
F
x'
45
0
FCD
F
C
650
FCC

F F CD
sin650 F FCC sin Fmin F ( ) | 90
0
例5：
作杆AB的受力分析
例6 图示汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力F=212 N，方向与水平面成q = 45角。当平衡时，DA铅直，BC水平， 试求拉杆BC所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在铅直 线DA上 ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。
1．力偶与力偶矩
大小相等，方向相反，作用线平行的两个力称为力偶。
平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
平面力偶对平面内任一点之矩:
MO( F ) MO( F )
F aO F bO
F d
2ABC
平面力偶对平面内任一点之矩均等于力偶矩
与矩心无关
力偶矩：力偶对物体转动效应的度量 等于力的大小与两个力之间垂直距离的乘积
Fx F cos
Fx Fx i
Fy F cos F sin
Fy Fy j
F Fx i Fy j
F Fx Fy
2 2
Fx cos(F, i ) F
力在轴上的投影是否总是等于 力在该轴上分力的大小？
2. 平面汇交力系合成的解析法
合矢量投影
2. 平面汇交力系合成的解析法
D 研究AC D C D
M1
B
M1
q

NB
B M 1 BDN D sin
ND ND
M2
A
M 2 ADN D BD M1 M 2 sin AD
M2
q＋ ＝900
BD M1 M 2cos AD
A
NA
例12：横梁AB长l，A端用铰链杆支撑，B端为铰支座。
梁上受到一力偶的作用，其力偶矩为M，如图所示。 不计梁和支杆的自重，求A和B端的约束力。
F
xi
0
F
yi
0
FCx FCB cos 0 FCB sin FCy 0 F cos F FCx ctg 2 sin 2 Fl 11.25kN 2h F FCy FCB sin 1.5kN 2
例4：已知物体的重量为P，求（a）平衡时铅垂力F，
FRx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi FRy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi
FRx F1 cos1 F2 cos 2 F3 cos 3 F4 cos 4 1162 N
FRy F1 sin1 F2 sin 2 F3 sin 3 F4 sin 4 160 N
只要保持力偶矩大小和方向不变 力偶可在与其作用面平行的平面内移动
对于变形体，力偶性质及其推论是否适用？
平面问题中的力矩和力偶矩有何异同？
量纲相同 力矩是力使物体绕矩心转动效应的度量;
力矩的大小和正负与矩心有关；
力偶矩是力偶使物体转动效应的度量;
力偶矩的大小和正负与矩心无关；
力偶对其平面内任意一点之矩恒等于力偶矩。
解: 总切削力偶矩
M M1 M 2 M 3 M 4 4 15 60 N m
工件受力图 因力偶只能与力偶平衡， 故力FNA与力FNB必组成一力偶。
M 0,
FNB
FNB 0.2 M 1 M 2 M 3 M 4 0
60 300 N 0.2
F
A
q
14.03, sin 0.243 , cos 0.969
24cm
B O D
E
C
6cm
解 1.取制动蹬ABD作为研究对象。 2.画出受力图 Fx 0 ， FB Fcos q FD cos 0
3.列平衡方程： Fy 0 ，
FDsin Fsin q 0
FAy = 750N（↓） FBy = 750N（↑）
FAy
FBy
例10：一简支梁作用一矩为M 的力偶，不计梁
重，求二支座约束力。
M
解：以梁为研究对象
B 因为力偶只能与力偶平衡， 所以 FA=FB。 FA B 所以 ∑M = 0 M - FAl = 0 FA =FB = M / l
A
l M
A
FB
例11：当系统平衡时，求力偶矩 M1 , M 2 应满足的关系。 研究BD
MO (F) = F d
d=?
3.合力矩定理的应用之一——求合力矩
例7
图示支架中l1 、 l2 、 l3 和 均已知，求力F对OHale Waihona Puke Baidu的力 矩。
M O (F) M O ( Fx ) M O ( Fy )
F sin l2
F ( l1 l3 ) cos l2 sin F cos ( l1 l3 )
F
xi
0
F
yi
0
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
例3:如图所示的压榨机中杆AB和BC的长度相等，自重忽 略不计。已知：F=3kN，h=200mm，l=1500mm。试求压 榨机对工件与地面的压力，以及AB杆所受的力。 取压块 C 为研究对象并受力分析如图。建立坐标，由平 面汇交力系的平衡方程有：
FNA FNB 300 N
讨论：工件约束反力的方向是否有变化？
例9 齿轮箱两个外伸轴上作用的力偶如图所示。为 保持齿轮箱平衡，试求螺栓A、B处所提供的约束力 的铅垂分力。
FAx ，FBx等值反向，对力偶系合成结果无贡献
解：取齿轮箱为研究对象。
Σ Mi = 0
500 125 FAy 0.5 0
习题 1-3
2-6 3-4 要求
1）要抄题，画原图；
2）用铅笔、直尺作图； 3）受力分析不能作在原图上；
3．平面力偶系的合成与平衡条件
（1）平面力偶系的合成
Mi Fi d
F Fi
M Mi
M Fd Fi d
=
（2）平面力偶系的平衡
平面力偶系平衡
M 0
M
i
0
－平衡方程
例8： 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为M1=M2=M3=M4=15N•m。 求工件的总切削力偶矩和A 、B端约束力。
FR
2 2 FRx FRy
(1162 ) 2 ( 160 ) 2 1173 N
tg FRy FRx 160 1162 0.133
754
FR FRx i FRy j
3.平面汇交力系平衡的解析条件：
平面汇交力系平衡的必要和充分条件：
各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零
1.平面汇交力系合成的几何法
结论：合力为力多边形的封闭边
合成结果： 过汇交点的合力，大小和方向等于各分力的矢量和
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
n
合力为力多边形的封闭边
思考： 平面汇交力系
平面共点力系
平衡时的力多边形？
2．平面汇交力系平衡的几何条件
几何法（矢量法）特点：便于定性分析平衡问题
力多边形自行封闭
例题1：
平面汇交力系合成与平衡的解析法
解析法：以力在坐标轴上的投影分析力系的合成及 其平衡条件的方法。 回顾1、力在轴上的投影 F
回顾2、力在平面上的投影

x
F

Fx F cos
F
FM

x
FM F cos
平面汇交力系合成与平衡的解析法
回顾3．力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式：
FR F1 F2 Fn
FRx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi FRy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi
F Fx i Fy j
FR FRx i FRy j
例2 如图所示，作用于吊环螺钉上的四个力构成平面汇 交力系。已知各力的大小和方向为
M F d
代数值 逆时针为正
力偶臂d: 二力作用线之间的垂直距离
力偶作用面 :
二力所确定的平面
2 力偶的性质
性质一 : 平面力偶
不能再进一步简化为 一个力，也不能与一 个力相平衡。
性质二 : 力偶对刚体的运动效应只与力偶矩有关。
F
A
x
a a a
F
B
A
F
F
a a a
B
x
F F F
a a a
F
FB 750 N
联立求解
力对点之矩的概念及计算
力对点之矩是度量力使刚体绕此点转动效应的物理量 1．力对点之矩 h
代数值 逆时针为正
2.合力之矩定理
平面汇交力系的合力对平 面内任一点之矩等于各分力对 该点之矩的代数和。
3.合力矩定理的应用之一——求合力矩
例7
图示支架中l1 、 l2 、 l3 和 均已知，求力F对O点的力 矩。
F
A
M
B
M
O
B O
F
F
（A）
（B）
思考：
结构如图所示，已知各杆均作用一个主动力偶 M， 确定各个铰链约束力的方向（不计构件自重）。
A
M
A
M
M
O
B
O
M
B
例13：试求图示结构中杆1、2、3所受的力。
解：
Σ Mi = 0
F3 d M 0
d
M F3 （压） d
M
FA = F3
F2 = 0