2018版高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)2(一)学案 新人教A版必
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3.4 基本不等式：√ab ≤（a+b ）2（一）
[学习目标] 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．
知识点一 重要不等式及证明
如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．请证明此结论． 证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，
∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”．
知识点二 基本不等式
1．内容： ab ≤a ＋b 2，其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
2．证明：
∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b
＝(a －b )2≥0.
∴a ＋b ≥2ab . ∴ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
3．两种理解：
(1)算术平均数与几何平均数：
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)几何意义：
如图所示，以长度为a ＋b 的线段AB 为直径作圆，在直径AB 上取一点C ，
使AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD ，DB ，易
证Rt △ACD ∽ Rt △DCB ，则CD 2＝CA ·CB ，即CD ＝ab .
这个圆的半径为a ＋b
2，显然它大于或等于CD ，即a ＋b
2≥ab ，当且仅当点C 与圆心O 重合，
即a ＝b 时，等号成立．
知识点三 基本不等式的常用推论
(1)ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；
(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b
≤－2；
(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．
题型一 利用基本不等式比较大小