高等数学 第九章 重积分 第三节 三重积分

I = ∫ dθ ∫ dr ∫r 2
0 0
3
2π
3
4− r 2
r ⋅ zdz = 13 π.
4
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3. 利用球面坐标计算三重积分
柱 标 设M(x, y, z) ∈R3, 其 坐 为(ρ,θ, z), 令 OM = r, ∠ZOM = ϕ, 把(r,θ,ϕ)称为点 的球面坐标 称为点M 球面坐标.
ρ =常 数 θ = 常数
z =常 数
o y θ (x, y,0) x ρ
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在柱面坐标系中体积元素为
d v = ρd ρ dθd z
因此
∫∫∫Ω f (x, y, z)dxdydz
ρ d ρdθ dz
适用范围: 适用范围 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量能被分离. 被积函数用柱面坐标表示时变量能被分离 用柱面坐标表示时变量能被分离
= ∫ zdz ∫
0
a
π
0
2 dθ
∫0
2cosθ
o
ρ dρ
2
y
=
2 π 4a
3
∫0
2 cos3 dθ θ
8 3 = a 9
2 ρ = 2cosθ x
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例5. 计算三重积分
其中Ω 其中Ω由抛物面
x2 + y2 = 4z 与平面 z = h (h > 0)所围成 .
z
h
解 在柱面坐标系下
第九章 重积分
第三节 三重积分
三重积分的概念
直角坐标情形
三重积分计算
柱面坐标情形 球面坐标情形
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一、三重积分的概念
引例: 引例 设在空间有界闭区域 Ω 内分布着某种不均 物质, 匀物质 体密度函数为 µ(x, y, z) ∈C,求含在 Ω 内物质 的质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 解决方法 类似二重积分解决问题的思想 采用 “分割 作近似和 求极限” 分割, 作近似和, 求极限” 分割 可得
= ∫∫ dxdy∫
D
z2 (x, y)
z1(x, y)
f (x, y, z)d z
方法2. 三次积分 三次积分” 方法2. “三次积分”
= ∫ d x∫
a
b
y2 ( x)
y1( x)
d y∫
z2 ( x, y)
z1( x, y)
f (x, y, z)d z
方法3. 先二后一 先二后一” 方法3. “先二后一”
ρ = r sinϕ z = r cos ϕ
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如图所示, 球面坐标系中体积元素为 如图所示 在球面坐标系中体积元素为
z
dθ
d v = r sinϕd rdϕ dθ
2
dr
因此
ϕ
r
θ
dθ
∫∫∫Ω
f (x, y, z)dxdydz
x
Ω
Байду номын сангаас
o
dϕ
y
= ∫∫∫ F(r,θ,ϕ) r 2 sinϕ d r dϕ dθ
2
a
by
解 Ω:
x
用“先二后一 ”
∴
∫∫∫Ω z
d xd yd z = ∫
c
c 2 z dz −c
∫∫D d xd y
z
z2 4 2 = 2∫ z π ab(1− 2 )dz = π abc3 −c 15 c
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小结: 小结: 直角坐标情形三重积分的计算方法 方法1. 先一后二 先一后二” 方法1. “先一后二”
= ∫∫ dxdy∫
D
z2 ( x, y)
z1( x, y)
f (x, y, z)dz
设平面区域
y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) D: a ≤ x ≤b
z1 ( x, y ) ≤ z ≤ z 2 ( x, y ) Ω: y1(x) ≤ y ≤ y2 (x) a ≤ x ≤b
Ω: 0 ≤ r ≤ a 3 cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π , 0 ≤θ ≤ 2π 2
利用对称性, 利用对称性 所求立体体积为
r = a 3 cos ϕ
z a
V = ∫∫∫ d v
Ω
= 4∫
π
0
2 dθ
∫0
π
2 sinϕ dϕ
∫
a 3 cosϕ 2 r dr 0
ϕr
θ x
y
1 3 2 3 π2 = π a ∫ sinϕ cosϕ dϕ = π a dv = r2 sinϕdrdϕ dθ 0 3 3
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先一后二” 先一后二 方法1. 方法 投影法 (“先一后二” ) 将积分区域Ω 坐标面投影, 将积分区域Ω向 xOy 坐标面投影 得平面区域D, 得平面区域 于是
z = z2 (x, y)
z
.
z = z1(x, y)
z1 ( x, y ) ≤ z ≤ z 2 ( x, y ) Ω: (x, y) ∈D
（ρ,θ, z) 为点 的柱面坐标 为点M 柱面坐标.
直角坐标与柱面坐标的关系: 直角坐标与柱面坐标的关系
x = ρ cosθ y = ρ sinθ z=z
坐标面分别为
0 ≤ ρ < +∞ 0 ≤θ ≤ 2π − ∞ < z < +∞
圆柱面 半平面 平面
z
z
M(x, y, z)
= ∫ d z∫∫
a
b
DZ
f (x, y, z)dxdy
三种方法各有特点, 三种方法各有特点 具体计算时应根据被积函数以 及积分区域的特点灵活选择. 及积分区域的特点灵活选择
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2. 利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z) ∈R3, 将x, y用 坐 ρ,θ 代 , 称 极 标 替
其中 F(r,θ,ϕ) = f (r sinϕ cosθ, r sinϕ sinθ, r cosϕ ) 适用范围: 适用范围 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 积分域表面用球面坐标表示时方程简单 用球面坐标表示时方程简单 2) 被积函数用球面坐标表示时变量能互相分离. 被积函数用球面坐标表示时变量能互相分离 用球面坐标表示时变量能互相分离
n
记作
∫∫∫Ω f (x, y, z)dv
存在, 上的三重积分 三重积分. 存在 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在Ω上的三重积分 称 dv 为体积元素 在直角坐标系下 dv = dxdydz. 体积元素, 性质: 三重积分具有与二重积分类似的性质. 性质 三重积分具有与二重积分类似的性质 例如 中值定理. 中值定理 上连续, 在有界闭域 Ω 上连续 V 体积, 为Ω 的体积 则存在 (ξ,η,ζ ) ∈Ω, 使得
0 ≤ z ≤1− x − 2y 解一 Ω: 0 ≤ y ≤ 1 (1− x) 2 (x, y) D : 0 ≤ x ≤1 ∴ ∫∫∫ x d x d y d z
Ω
z
1
1 2
D
∫
= ∫ x d x∫
0 1 0
1−x−2 y
y
0
xd z
1 x
1(1−x) 2
(1− x − 2y)dy
1 1 1 2 3 = ∫ (x − 2x + x )dx = 4 0 48
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例4. 计算三重积分 所围成的右半圆柱体. 所围成的右半圆柱体 解 在柱面坐标系下 Ω:
其中Ω 其中Ω
为由柱面 x2 + y2 = 2x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0
原式= ∫∫∫ z ρ ⋅ ρ d ρ dθ d z
Ω
0≤ z ≤a 0 ≤ ρ ≤ 2cosθ z a 0 ≤θ ≤ π 2
∫∫∫Ω f (x, y, z)dv = f (ξ,η,ζ )V
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 先一后二” 方法 . 投影法 (“先一后二”) 先一后二 方法2 方法 . 三次积分法 方法3 先二后一” 方法 . 截面法 (“先二后一”) 先二后一
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解二
0 ≤ y ≤ 1 (1− x) 2 投影区域 D : 0 ≤ x ≤1
因此
Ω:
0 ≤ z ≤1− x − 2y 0 ≤ y ≤ 1 (1− x) 2 0 ≤ x ≤1
z
1
1 2
∴ ∫∫∫ x d x d y d z
Ω
∫0
= ∫ x d x∫
0 1
1(1−x) 2
λ→0
Ω
M = lim ∑µ(ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
k =1
n
∆vk
(ξk ,ηk ,ζ k )
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任意分割Ω 定义. 设 f (x, y, z) , (x, y, z) ∈Ω, 任意分割Ω 为: 任取点 如果
λ→0 k =1
lim ∑ f (ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
R 4 r dr 0
dv = r2 sinϕ drdϕ dθ
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例8. 求曲面 (x2 + y2 + z2 )2 = a3z (a > 0)所围立体体积. 所围立体体积 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部 且关于 xOz 面上部, 解 由曲面方程可知 立体位于 面上部 yOz面对称 并与 面对称, 面相切, 面对称 并与xOy面相切 故在球坐标系下所围立体为 面相切
奇函数
x2 + y2 ≤1
=0
因为积分区域关于xOy坐标面对称 且被 坐标面对称, 另解 因为积分区域关于 坐标面对称 积函数关于z为奇函数 因此, 原式= 为奇函数, 积函数关于 为奇函数 因此 原式 0.
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先二后一” 先二后一 方法3. 方法 截面法 (“先二后一”) 先确定积分区域Ω 先确定积分区域Ω中z 坐标的 变化范围, 再作截面, 变化范围 再作截面 得
y2 ( x) y1( x) z2 ( x, y)
把二重积分化成二次积分, 把二重积分化成二次积分 得三次积分
= ∫ dx ∫
a
b
dy ∫
z1( x, y)
f (x, y, z)dz
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坐标面与平面 x + 2y + z =1 所围成的闭区域 .
其中Ω 例1. 计算三重积分 ∫∫∫Ω xdxdydz, 其中Ω 为三张
2 2
关于柱面坐标系， 解 关于柱面坐标系，两曲面
r 2 + z 2 = 4 的交线为 r 2 = 3z
⇒ z = 1, r = 3 ,
z = 1平面上的圆 平面上的圆
把闭区域 Ω 投影到 xOy 面上，如图， 得 r2 Ω: ≤ z ≤ 4 − r 2， ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π . 0 3
1−x−2 y
y
dz
1 x
0
(1− x − 2y)dy
1 1 1 2 3 = ∫ (x − 2x + x )dx = 4 0 48
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例2. 设
计算
先一后二, 解 先一后二 再利用定积分关于积分区间 的对称性和被积函数的奇偶性,得 的对称性和被积函数的奇偶性 得 原式 =
∫∫ d xd y
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例7. 计算三重积分 与球面 解 在球面坐标系下
其中Ω 其中Ω 所围立体. 所围立体
z
π
4
0≤r ≤ R Ω: 0 ≤ ϕ ≤ π 4 0 ≤θ ≤ 2π
∴
r =R
∫∫∫Ω
2π 0
( x2 + y2 + z2 )dxdydz
π
0
o
x
y
= ∫ dθ ∫ 4 sinϕ dϕ ∫
1 5 = π R (2 − 2) 5
直角坐标与球面坐标的关系
x = rsinϕ cosθ y = r sinϕ sinθ z = r cos ϕ
坐标面分别为
0 ≤ r < +∞ 0 ≤θ ≤ 2π 0 ≤ϕ ≤π
球面 半平面 锥面
z z
ϕr o ρ xθ
M
y
r =常 数
θ = 常数 ϕ = 常数
M(r,θ,ϕ)
则
.
∫∫∫Ω f (x, y, z) dv
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy = ∫∫ ∫ D z1( x, y)
记作
x
D
y
∫∫Ddxdy∫z (x, y)
1
z2 ( x, y)
f (x, y, z)dz
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方法2. 方法 三次积分法 由投影法(“先一后二” 由投影法 先一后二” ) 先一后二
z b
( x , y ) ∈ Dz
则
z a
x
Dz
Ω
y
=∫
( ∫∫ f (x, y, z) d x d y) dz a D
b
Z
记作
∫a dz∫∫D
b
f (x, y, z)dxdy
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Z
例3. 计算三重积分
c z D z
z
x2 y2 z2 Dz : 2 + 2 ≤1− 2 a b c −c ≤ z ≤ c
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思考与练习
1. 将 I = ∫∫∫ f (x, y, z) d v用三次积分表示,其中Ω由 用三次积分表示,其中Ω
ρ h dρ ρ2 d z d ∫ θ 原式 = ∫ 2 ∫4 0 0 1+ ρ 2 h ρ ρ2 = 2π ∫ (h − ) dρ 2 0 4 1+ ρ
2π
2 h
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o o x
y
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例6. 计算 I =
2 2 2
∫∫∫ zdxdydz ，其中Ω 是球面
Ω
所围的立体. x + y + z = 4与抛物面 x + y = 3 z 所围的立体.