第1章 概率论与随机过程第1章4-5节
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P ( A1 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) 0.2 0.8 0.7 0.4 0.424
上 海 2. 全概率公式 大 样本空间的划分定义: 学 设S为随机试验E的样本空间， 通 信 百度文库1，B2，…，Bn 为E的一组事件，若 学 n (i ) Bi S ; 院
上 海 大 学 通 信 学 院
例 7: 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球， 1 个红球，乙 袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区 别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任 取一球，问此球是红球的概率？ 解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；
A2——从甲袋放入乙袋的是红球； B——从乙袋中任取一球是红球；
上 例3：一批灯泡共100只，次品率为 10％，不放回地抽取三次， 海 大 每次取一只，求第三次才取得合格品的概率。 学 通 解：设 Ai ={第i次取得合格品}，i=1，2，3。显然， 信 P{第三次才取得合格品}= P ( A1 A2 A3 ) 学 院 10 9 90 , P ( A2 A1 ) , P ( A3 A1 A2 ) 因为 P ( A1 )
解:设A:从一箱中任取4只检查，结果都是好的。
B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品。
n AB n AB n f n ( B | A) nA nA n f n ( AB ) f n ( A)
AB
___
A B S
AB
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条件概率定义: 设A，B为随机试验E的二个事件，且P(A)>0，则称 P AB P ( B / A) P ( A) 为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
100 99 98
故 P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
10 9 90 0.0083 100 99 98
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例4(补充)：在空战训练中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率 为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3； 若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为0.4。求 在这几个回合中：(1)甲机被击落的概率；(2)乙机被击落的概 率。 解：设事件A={甲机被击落}，事件B={乙机被击落}， 事件A i={第i回合射击成功}，i=1,2,3。则由乘法定理可有:
P ( B) P ( B | A1 ) P ( A1 ) P ( B | A2 ) P ( A2 ) 1 2 3 1 7 2 3 4 3 12
甲
乙
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例8(补充)：商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1 ，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任 选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱。问这一箱含有 一个次品的概率是多少？
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§4 条件概率
(一) 在有些问题研究中，有时还需要知道在 “事 件A发生的条件下，事件B发生的概率。” 其称 为“事件A发生的条件下，事件B发生的条件概 率”,记为P(B|A)。 一般P(B|A) ≠ P(B).
例如:某产品一盒共10只，已知其中有3只次品，
从中取2次，每次任取一只，作不放回抽取，试 求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。
A A1 A2 , B A1 A1 A2 A3
（1） P ( A) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) 0.8 0.3 0.24 （2）P ( B ) P ( A1 A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A1 A2 A3 )
问题: 应该如何来定义和计算条件概率呢?
可想的方法: 由于事件的频率与概率有一定关系，所以是否 可从此着手研究该问题?
上 海 事件A发生的条件下事件B发生的频率： 大 学 设事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件， 通 信 并设n次试验中，其中A，AB事件分别出现nA ，nAB次， 学 故在“事件A发生的条件下事件B发生的频率”为: 院
P(B ) P( A | B )
i 1 i i
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贝叶斯公式通常用于下列问题中:
设试验只可能出现H1, H2, …, Hn有穷或可列 多个不同的情况，而事件A只能伴随这些情况之 一发生。 试在A事件发生的条件下，求发生了Hk情况 的条件概率。
上 例6: 设甲乙丙三个箱子中：甲箱内有a1个白球b1个黑球；乙 海 箱内有a2个白球b2个黑球；箱内有a3个白球b3个黑球。现 大 任取出一箱，从此箱中任取出一球，结果发现此球为白球。 学 试在事件A″此球为白球″的条件下，求H1″此球属于甲箱 通 ″的条件概率P(H1/A)。 信 学 院 解: 设H1，H2，H3分别表示“此球属于甲乙丙箱”。 3 1 P H 1 P H 2 P H 3 ，且 P H 1 H 2 H 3 1， H i S i 1 3 由全概率公式可得：
例1: 设在一只盒子中混有新旧2种乒乓球，在新乒乓球中 有白色40只，红色30只；在旧乒乓球中有白色20只，红 色10只。现任取一球，发现是新的，问这只球是白色的 概率是多少?
类型 W(白) 40 20 60 R(红) 30 10 40 共计 70 30 100
N(新)
O(旧) 共计
解: 按题意,即求P(W/N)=? 1) 在缩减样本空间N中考虑计算:P(W/N)=40/70=4/7。
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解: 设A：第一次取到次品；
B：第二次取到次品。 第一次取走一只次品后， 盒中还剩下9只产品，其中 只有2个次品，故
A B
AB
___
AB
2 P B / A . 9 又 B AB A B ，且 ( AB)( A B) 故
___
S
3 2 7 3 3 P ( B ) P ( AB ) P ( A B ) 10 9 10 9 10
B
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3. 贝叶斯公式
定理：设试验E的样本空间为S，B1, B2 , … , Bn是S的一个划分， 且P(Bi) > 0, i＝1, 2, …, n。对于任何事件AS，P(A)>0，则有 贝叶斯公式： P ( Bi ) P ( A Bi )
P ( Bi A)
P(B ) P( A | B )
问题：条件概率是否满足概率定义的非负性、规范性、 可列可加性三条件? P(B|A)计算的两种方法: 1) 在样本空间S的缩减样本空间SA中直接计算B发生 的概率P(B/A)； 2) 在样本空间S中,分别计算P(AB)和P(A),再计算 P ( AB ) P ( B / A) P ( A)
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P A P A / B1 PB1 P A / B2 PB2 P A / Bn PBn 。
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例5: 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知 三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次 品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。 解：设：A：买到一件次品; B1 :买到一件甲厂的产品; B2 :买到一件乙厂的产品; B3 :买到一件丙厂的产品。
上 海 全概率公式: 大 设试验E的样本空间为S，B1，B2， 学 通 …, Bn是S的一个划分，且P(Bi)>0， 信 (i＝1，…，n)，则对任何事件AS有 学 n 院 P ( A)＝ P ( Bi ) P ( A | Bi ) 。 i 1
B1
Bn
A
B2
Bn 1
B3
S
证： A AS A(B1 B2 Bn ) AB1 AB2 ABn 且 ( ABi )( ABk ) , i k. 由概率和与乘法定理可得：
P B / A P ( B)
上 从样本空间分析： 海 次品 正品 大 S e e e , e ... e 1, 2, 3 4, 10 , 学 第一次抽取时的样本空间 通 信 次品 正品 学 院 当A发生后，S缩减为 S A e i1, e i 2, , e 4, ...e10, 由此可知：P(B/A)是在缩减样本空间 S A上计算的。
i 1
B1
Bn 1
Bn
B2
B3
S
(ii ) Bi B j , (i j ), i , j 1,2,...,n.
则称B1，B2，…，Bn (n可为)为样本空间S的一个划分。 样本空间的划分可构造的条件: 一次试验E，事件B1，B2，…，Bn中必有一个且仅有 一个事件发生。
1 a 1 a2 1 a3 P A P H n P A / H n 1 3 a1 b1 3 a 2 b2 3 a 3 b3 n1
3
由贝叶斯公式可得：
1 a1 P(H1 )PA / H1 3 a1 b1 1 P H 1 / A a a b a a b 1 a1 1 a 1 a P A 2 3 1 2 1 1 3 1 1 3 a1 b1 3 a 2 b2 3 a 3 b3 a1 a 2 b2 a1 a 3 b3
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则 2， 3， P( A ) P( A | A )
1
5
2
1
6
P ( A 3 | A1 A2 )
3 4 P ( A | A A A ) 4 3 1 2 7， 8
P ( A1 A2 A 3 A 4 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A 3 | A1 A2 ) P ( A 4 | A1 A2 A 3 ) 2 3 3 4 1 5 6 7 8 35
40 / 100 4 2) 用公式求解:P(W/N)= P(WN)/ P(N)= 70 / 100 7
上 海 有关条件概率的三定理 大 学 1. 概率的乘法定理: 通 设 A 、 B ∈ S ， P （ A ） >0 , 则 信 学 P(AB)＝P(A)P(B|A)。 院
可推广到三个事件的情形：
P( A) P( AB1 ) P( AB2 ) P( AB3 )
P( A | B1 ) P( B1 ) P( A | B2 ) P ( B2 ) P( A | B3 ) P ( B3 )
0.02 1 1 1 0.01 0.03 0.0225 4 4 2
A、B、C∈S，P（AB）>0，则有 P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式：P(A1…An－1) >0 ，则有 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)。
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例2:袋中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只 ，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色 相同的球，若从袋中连续取球4次,试求第1、2次取得 白球、第3、4次取得红球的概率。
i 1 i i
n
, i 1, 2, , n.
证：由条件概率可得： P ( Bi A) P Bi A P( A Bi )PBi
P A P A
由全概率公式可得： P A P( A Bk )PBk
k 1
N
故有贝叶斯公式： P ( B A) P ( Bi ) P ( A Bi ) , i 1, 2, , n. i n
上 海 2. 全概率公式 大 样本空间的划分定义: 学 设S为随机试验E的样本空间， 通 信 百度文库1，B2，…，Bn 为E的一组事件，若 学 n (i ) Bi S ; 院
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例 7: 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球， 1 个红球，乙 袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区 别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任 取一球，问此球是红球的概率？ 解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；
A2——从甲袋放入乙袋的是红球； B——从乙袋中任取一球是红球；
上 例3：一批灯泡共100只，次品率为 10％，不放回地抽取三次， 海 大 每次取一只，求第三次才取得合格品的概率。 学 通 解：设 Ai ={第i次取得合格品}，i=1，2，3。显然， 信 P{第三次才取得合格品}= P ( A1 A2 A3 ) 学 院 10 9 90 , P ( A2 A1 ) , P ( A3 A1 A2 ) 因为 P ( A1 )
解:设A:从一箱中任取4只检查，结果都是好的。
B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品。
n AB n AB n f n ( B | A) nA nA n f n ( AB ) f n ( A)
AB
___
A B S
AB
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条件概率定义: 设A，B为随机试验E的二个事件，且P(A)>0，则称 P AB P ( B / A) P ( A) 为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
100 99 98
故 P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
10 9 90 0.0083 100 99 98
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例4(补充)：在空战训练中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率 为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3； 若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为0.4。求 在这几个回合中：(1)甲机被击落的概率；(2)乙机被击落的概 率。 解：设事件A={甲机被击落}，事件B={乙机被击落}， 事件A i={第i回合射击成功}，i=1,2,3。则由乘法定理可有:
P ( B) P ( B | A1 ) P ( A1 ) P ( B | A2 ) P ( A2 ) 1 2 3 1 7 2 3 4 3 12
甲
乙
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例8(补充)：商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1 ，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任 选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱。问这一箱含有 一个次品的概率是多少？
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§4 条件概率
(一) 在有些问题研究中，有时还需要知道在 “事 件A发生的条件下，事件B发生的概率。” 其称 为“事件A发生的条件下，事件B发生的条件概 率”,记为P(B|A)。 一般P(B|A) ≠ P(B).
例如:某产品一盒共10只，已知其中有3只次品，
从中取2次，每次任取一只，作不放回抽取，试 求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。
A A1 A2 , B A1 A1 A2 A3
（1） P ( A) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) 0.8 0.3 0.24 （2）P ( B ) P ( A1 A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A1 A2 A3 )
问题: 应该如何来定义和计算条件概率呢?
可想的方法: 由于事件的频率与概率有一定关系，所以是否 可从此着手研究该问题?
上 海 事件A发生的条件下事件B发生的频率： 大 学 设事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件， 通 信 并设n次试验中，其中A，AB事件分别出现nA ，nAB次， 学 故在“事件A发生的条件下事件B发生的频率”为: 院
P(B ) P( A | B )
i 1 i i
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贝叶斯公式通常用于下列问题中:
设试验只可能出现H1, H2, …, Hn有穷或可列 多个不同的情况，而事件A只能伴随这些情况之 一发生。 试在A事件发生的条件下，求发生了Hk情况 的条件概率。
上 例6: 设甲乙丙三个箱子中：甲箱内有a1个白球b1个黑球；乙 海 箱内有a2个白球b2个黑球；箱内有a3个白球b3个黑球。现 大 任取出一箱，从此箱中任取出一球，结果发现此球为白球。 学 试在事件A″此球为白球″的条件下，求H1″此球属于甲箱 通 ″的条件概率P(H1/A)。 信 学 院 解: 设H1，H2，H3分别表示“此球属于甲乙丙箱”。 3 1 P H 1 P H 2 P H 3 ，且 P H 1 H 2 H 3 1， H i S i 1 3 由全概率公式可得：
例1: 设在一只盒子中混有新旧2种乒乓球，在新乒乓球中 有白色40只，红色30只；在旧乒乓球中有白色20只，红 色10只。现任取一球，发现是新的，问这只球是白色的 概率是多少?
类型 W(白) 40 20 60 R(红) 30 10 40 共计 70 30 100
N(新)
O(旧) 共计
解: 按题意,即求P(W/N)=? 1) 在缩减样本空间N中考虑计算:P(W/N)=40/70=4/7。
上 海 大 学 通 信 学 院
解: 设A：第一次取到次品；
B：第二次取到次品。 第一次取走一只次品后， 盒中还剩下9只产品，其中 只有2个次品，故
A B
AB
___
AB
2 P B / A . 9 又 B AB A B ，且 ( AB)( A B) 故
___
S
3 2 7 3 3 P ( B ) P ( AB ) P ( A B ) 10 9 10 9 10
B
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3. 贝叶斯公式
定理：设试验E的样本空间为S，B1, B2 , … , Bn是S的一个划分， 且P(Bi) > 0, i＝1, 2, …, n。对于任何事件AS，P(A)>0，则有 贝叶斯公式： P ( Bi ) P ( A Bi )
P ( Bi A)
P(B ) P( A | B )
问题：条件概率是否满足概率定义的非负性、规范性、 可列可加性三条件? P(B|A)计算的两种方法: 1) 在样本空间S的缩减样本空间SA中直接计算B发生 的概率P(B/A)； 2) 在样本空间S中,分别计算P(AB)和P(A),再计算 P ( AB ) P ( B / A) P ( A)
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P A P A / B1 PB1 P A / B2 PB2 P A / Bn PBn 。
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例5: 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知 三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次 品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。 解：设：A：买到一件次品; B1 :买到一件甲厂的产品; B2 :买到一件乙厂的产品; B3 :买到一件丙厂的产品。
上 海 全概率公式: 大 设试验E的样本空间为S，B1，B2， 学 通 …, Bn是S的一个划分，且P(Bi)>0， 信 (i＝1，…，n)，则对任何事件AS有 学 n 院 P ( A)＝ P ( Bi ) P ( A | Bi ) 。 i 1
B1
Bn
A
B2
Bn 1
B3
S
证： A AS A(B1 B2 Bn ) AB1 AB2 ABn 且 ( ABi )( ABk ) , i k. 由概率和与乘法定理可得：
P B / A P ( B)
上 从样本空间分析： 海 次品 正品 大 S e e e , e ... e 1, 2, 3 4, 10 , 学 第一次抽取时的样本空间 通 信 次品 正品 学 院 当A发生后，S缩减为 S A e i1, e i 2, , e 4, ...e10, 由此可知：P(B/A)是在缩减样本空间 S A上计算的。
i 1
B1
Bn 1
Bn
B2
B3
S
(ii ) Bi B j , (i j ), i , j 1,2,...,n.
则称B1，B2，…，Bn (n可为)为样本空间S的一个划分。 样本空间的划分可构造的条件: 一次试验E，事件B1，B2，…，Bn中必有一个且仅有 一个事件发生。
1 a 1 a2 1 a3 P A P H n P A / H n 1 3 a1 b1 3 a 2 b2 3 a 3 b3 n1
3
由贝叶斯公式可得：
1 a1 P(H1 )PA / H1 3 a1 b1 1 P H 1 / A a a b a a b 1 a1 1 a 1 a P A 2 3 1 2 1 1 3 1 1 3 a1 b1 3 a 2 b2 3 a 3 b3 a1 a 2 b2 a1 a 3 b3
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则 2， 3， P( A ) P( A | A )
1
5
2
1
6
P ( A 3 | A1 A2 )
3 4 P ( A | A A A ) 4 3 1 2 7， 8
P ( A1 A2 A 3 A 4 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A 3 | A1 A2 ) P ( A 4 | A1 A2 A 3 ) 2 3 3 4 1 5 6 7 8 35
40 / 100 4 2) 用公式求解:P(W/N)= P(WN)/ P(N)= 70 / 100 7
上 海 有关条件概率的三定理 大 学 1. 概率的乘法定理: 通 设 A 、 B ∈ S ， P （ A ） >0 , 则 信 学 P(AB)＝P(A)P(B|A)。 院
可推广到三个事件的情形：
P( A) P( AB1 ) P( AB2 ) P( AB3 )
P( A | B1 ) P( B1 ) P( A | B2 ) P ( B2 ) P( A | B3 ) P ( B3 )
0.02 1 1 1 0.01 0.03 0.0225 4 4 2
A、B、C∈S，P（AB）>0，则有 P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式：P(A1…An－1) >0 ，则有 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)。
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例2:袋中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只 ，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色 相同的球，若从袋中连续取球4次,试求第1、2次取得 白球、第3、4次取得红球的概率。
i 1 i i
n
, i 1, 2, , n.
证：由条件概率可得： P ( Bi A) P Bi A P( A Bi )PBi
P A P A
由全概率公式可得： P A P( A Bk )PBk
k 1
N
故有贝叶斯公式： P ( B A) P ( Bi ) P ( A Bi ) , i 1, 2, , n. i n