微分方程教案

第七章 微分方程

教学目的：

1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。

2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4． 会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=

5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。

9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。

教学重点：

1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

2、可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=

3、二阶常系数齐次线性微分方程；

4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微

分方程；

教学难点：

1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；

3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

§7. 1 微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.

例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.

解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)

x dx

dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:

x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)

把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)

⎰

=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)

其中C 是任意常数.

把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得

2=12+C ,

由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式

4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:

t =0时, s =0, 20==dt

ds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5)

把(4)式两端积分一次, 得

14.0C t dt

ds v +-==; (6) 再积分一次, 得

s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)

这里C 1, C 2都是任意常数.

把条件v |t =0=20代入(6)得

20=C 1;

把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.

把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得

v =-0.4t +20, (8)

s =-0.2t 2+20t . (9)

在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

504

.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程

s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).

几个概念:

微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.

偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.

微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,

y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,

y (n ) +1=0,

一般n 阶微分方程:

F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.

y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .

微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,

F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,

那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.

通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.

初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如

x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .

一般写成

00y y x x ==, 0

0y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.

如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为

⎩

⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x . 积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.

例3 验证: 函数 x =C 1cos kt +C 2 sin kt 是微分方程 022

2=+x k dt x d 的解. 解 求所给函数的导数:

kt kC kt kC dt

dx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt

x d +-=--=. 将22dt

x d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.

这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dt

x d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dt

x d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0

的特解.